[cf1610G]AmShZ Wins a Bet

对$t$的操作即在$t$中插入一对括号，逆过程也即删除一对括号

换言之，$s$能被$t$得到当且仅当通过删除$s$中若干对括号可以得到$t$，问题也即求$\min t$

结论：通过删除$s$中若干个合法子串（指合法括号序列）可以得到$\min t$

考虑原来得到$\min t$的过程，对于其中每一对删除的括号，两个括号中间的部分必然也被删除（否则可以让删除的左括号更右或右括号更左，显然字典序不增）

进一步的，考虑一个极长删除区间，其中的括号删除时，对应的括号也总在此区间内（否则不极长），因此也即构成了一个合法括号序列，将这些区间分别删除即可

另一方面，合法子串显然也可以拆解为若干对括号，因此不妨以此为问题

另外，合法括号序列中删除若干个合法子串后显然仍合法，即删除顺序不影响（任意）

考虑dp，令$ans_{i}$为$s[i,|s|]$的答案，不难得到$ans_{i}=\min(s_{i}+ans_{i+1},\min_{s[i,j)合法}ans_{j})$

记$i$向右最短非空合法子串为$s[i,next_{i})$，注意到$s[i,j)$合法则$s[next_{i},j)$也合法，即$ans_{next_{i}}$已经包含后者，不妨仅转移$j=next_{i}$，也即$ans_{i}=\min(s_{i}+ans_{i+1},ans_{next_{i}})$

下面，考虑如何实现此过程：

建议一棵树，以$n+1$为根，$i$到根路径上的字符构成$ans_{i}$（类似于trie树）

考虑求$ans_{i}$，初始以$s_{i}+ans_{i+1}$为转移，即将$i$作为$i+1$的儿子，边上的字符为$s_{i}$

接下来，若$next_{i}$到根路径的字符串比$i$小，则将$i$作为$next_{i}$父亲的儿子，边上的字符为$s_{next_{i}}$

关于比较，注意到总是新增叶子，使用倍增+哈希找到第一个不同的位置即可

时间复杂度为$o(n\log n)$，可以通过

（代码实现成了$o(n\log^{2}n)$，直接在倍增中比较即可去掉二分）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 300005
 4 #define L 19
 5 #define ull unsigned long long
 6 int n,st[N],nex[N],pos[N],dep[N],fa[N][L];
 7 ull mi[N],Hash[N][L];
 8 char s[N];
 9 int get_pos(int k,int d){
10     for(int i=0;i<L;i++)
11         if (d&(1<<i))k=fa[k][i];
12     return k;
13 }
14 ull get_Hash(int k,int d){
15     ull ans=0;
16     for(int i=0,s=0;i<L;i++)
17         if (d&(1<<i)){
18             ans=ans+Hash[k][i]*mi[s];
19             k=fa[k][i],s|=(1<<i);
20         }
21     return ans;
22 }
23 void add(int k,int f,int p){
24     pos[k]=p,dep[k]=dep[f]+1;
25     fa[k][0]=f,Hash[k][0]=p;
26     for(int i=1;i<L;i++){
27         fa[k][i]=fa[fa[k][i-1]][i-1];
28         Hash[k][i]=Hash[k][i-1]+Hash[fa[k][i-1]][i-1]*mi[1<<i-1];
29     }
30 }
31 bool cmp(int x,int y){
32     int l=0,r=min(dep[x],dep[y]);
33     while (l<r){
34         int mid=(l+r+1>>1);
35         if (get_Hash(x,mid)==get_Hash(y,mid))l=mid;
36         else r=mid-1;
37     }
38     x=get_pos(x,l),y=get_pos(y,l);
39     return pos[x]<pos[y];
40 }
41 int main(){
42     mi[0]=1;
43     for(int i=1;i<N;i++)mi[i]=3*mi[i-1];
44     scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);
45     for(int i=1;i<=n;i++)
46         if (s[i]=='(')st[++st[0]]=i;
47         else{
48             if (st[0])nex[st[st[0]--]]=i+1;
49         }
50     dep[0]=-1;
51     for(int i=n;i;i--){
52         add(i,i+1,(s[i]==')')+1);
53         if ((nex[i])&&(cmp(nex[i],i)))add(i,fa[nex[i]][0],pos[nex[i]]);
54     }
55     for(int i=1;fa[i][0];i=fa[i][0]){
56         if (pos[i]==1)printf("(");
57         else printf(")");
58     }
59     printf("\n");
60     return 0;
61 }

View Code

 

标签：删除,min,Wins,next,括号,AmShZ,ans,合法,Bet
来源： https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/15632250.html