剪绳子游戏

题目描述

把一根绳子剪成多段，并且使得每段的长度乘积最大。

n = 2
return 1 (2 = 1 + 1)

n = 10
return 36 (10 = 3 + 3 + 4)

解题思路

贪心

尽可能得多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。以下为证明过程。

将绳子拆成 1 和 n-1，因为1(n-1) >n , 则 1(n-1)-n=-1<0，即拆开后的乘积一定更小，所以不能出现长度为 1 的绳子。

将绳子拆成 2 和 n-2，因为2(n-2) >n , 则 2(n-2)-n = n-4，在 n>=4 时这样拆开能得到的乘积会比不拆更大。

将绳子拆成 3 和 n-3，3(n-3) >n , 则 3(n-3)-n = 2n-9，在 n>=5 时效果更好。

将绳子拆成 4 和 n-4，因为 4=2*2，因此效果和拆成 2 一样。

将绳子拆成 5 和 n-5，因为 5=2+3，而 5<2*3，所以不能出现 5 的绳子，而是尽可能拆成 2 和 3。

将绳子拆成 6 和 n-6，因为 6=3+3，而 6<3*3，所以不能出现 6 的绳子，而是拆成 3 和 3。这里 6 同样可以拆成 6=2+2+2，但是 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0，在 n>=5 的情况下将绳子拆成 3 比拆成 2 效果更好。

继续拆成更大的绳子可以发现都比拆成 2 和 3 的效果更差，因此我们只考虑将绳子拆成 2 和 3，并且优先拆成 3，当拆到绳子长度 n 等于 4 时，也就是出现 3+1，此时只能拆成 2+2。

    public int cutRope(int n) {
        if (n < 2)
            return 0;
        if (n == 2)
            return 1;
        if (n == 3)
            return 2;
        int timesOf3 = n / 3;
        if (n - timesOf3 * 3 == 1)
            timesOf3--;
        int timesOf2 = (n - timesOf3 * 3) / 2;
        return (int) (Math.pow(3, timesOf3)) * (int) (Math.pow(2, timesOf2));
    }

动态规划

    /**
     *  动态规划
     * @param n 绳子长度
     */
    public int cutRope2(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j < i; j++)
                //dp[i] = max(之前算过的，max(这次全新尝试计算的，之前局部最优的基础上计算这次的））
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), dp[j] * (i - j)));
        return dp[n];

    }

    /*
    * i = 2,j = 1;  dp[2] = max(dp[2],max(1 * (2 - 1),dp[1] * (2 - 1))); dp[2] = 1
    * i = 3,j = 1;  dp[3] = max(dp[3],max(1 * (3 - 1),dp[1] * (3 - 1))); dp[3] = 2
    *       j = 2;  dp[3] = max(dp[3],max(2 * (3 - 2),dp[2] * (3 - 2))); dp[3] = 2
    * i = 4,j = 1;  dp[4] = max(dp[4],max(1 * (4 - 1),dp[1] * (4 - 1))); dp[4] = 3
    *       j = 2;  dp[4] = max(dp[4],max(2 * (4 - 2),dp[2] * (4 - 2))); dp[4] = 4
    *       j = 3;  dp[4] = max(dp[4],max(3 * (4 - 3),dp[3] * (4 - 3))); dp[4] = 4
    *
    * ..... 以此类推 .....
    *
    * 越往后，循环次数越多.....
    * */

标签：拆成,return,游戏,int,绳子,长度,timesOf3
来源： https://blog.csdn.net/uniquewonderq/article/details/121275079