70. 爬楼梯（简单）--- 我的第一道动态规划题

这个题目虽然只是一个入门题，但是废话也会多一些，记得刚入门动态规划题目的时候，是真的每个字都会读，但就是看不懂…

题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。 每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？ 注意：给定 n 是一个正整数。

示例：
输入： 2 输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例：
输入： 3 输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

思路

动态规划的思路是将大问题分成很多个小问题解答，也可以理解成高中数学题的递推找规律。
比如这道题目，可以用这种思路解答。
爬到第1阶楼梯有1种方法：1。
爬到第2阶楼梯有2种方法：1+1，2。
爬到第3阶楼梯有3种方法：1+1+1，1+2，2+1。
爬到第4阶楼梯有5种方法：1+1+1+1,1+2+1,2+1+1,1+1+2,2+2
依此类推…
爬到第n阶楼梯有？种方法？这里想不数学题，当k=1时，y=？，k=2时，y=？，当k=n时，y=？。动态规划的题目一定会有一个递推公式的，而且n+1对应的值是由前面求的y值推出来的，将各种可能情况对应的y值求出来就是答案了。
其实最难的地方就是怎么找到递推的公式。我常用的方法有3种，可以作为参考。

1. 树状图，求第n个步骤具体的值。
   例如这个题目，求第n阶楼梯，画到第n+1层就可以了，因为最长路径就是n个1。如上图，第n阶的方法就是结点值为n的个数。这个根据具体题目画图就可以。
2. 表格，根据表格推算dp的值，并验证对推公式是否正确。
   用上面的方法如果找不到规律就把值填到表格里面更直观的找。其实最后遍历的也是这个表格。在这里提一下，dp的值是和前面的dp值相关的，后面会接触到一种备忘录的技巧，就是存储要用到部分值。举个例子，这里推递推公式，从n=3开始，满足：dp(n) = dp(n-1)+dp(n-2)，如果使用备忘录技巧是不需要用到一个数组的，直接定义两个变量存dp(n-1)和dp(n-2)的值，然后遍历的时候同步更新这两个值就可以了。这样在dp数组很大的时候，可以节省存储空间。
   
3. 纯理解。
   这道题就可以理解成，到第n阶楼梯只能够从第n-1阶楼梯走1和从第n-2阶楼梯走2得到，所以到达第n阶楼梯的方法应该是第n-1阶楼梯的方法数+第n-2阶楼梯的方法数。关于递推公式的话，动态规划的基本题型都刷一下，后面基本都可以通过画画图加理解能够得到。

关于动态规划，做题得到一个整体的思路，但是仅供参考，因为我刚开始学习算法，学习方法稍微笨拙一些，大佬们可以无视。

1. 定义dp数组，自己要清除x和y分别代表什么意思，这道题为例，x就是楼梯阶数，y就是到达第x阶楼梯的方法数。
2. 特殊值，就像数学题一样，会有一些不满足规律的值要单拎出来。
3. 递推公式，这里遍历求dp的值要注意的问题有要判断什么条件下满足递归公式，然后从哪里开始循环。例如这道题，递推公式是dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]，因为数组从0开始，所以至少要从i=2开始遍历，但这道题是从3开始遍历的，是因为还要考虑到是从什么时候开始才满足递推公式。这个具体情况需要具体分析。

代码

class Solution {
    //传入楼梯数量
    public int climbStairs(int n) {
         //1. 定义dp数组
         //dp[i]:台阶为 i 时有 dp[i] 种方法
        int dp[] = new int[n+1];

        //2. 特殊值
        //因为从i=3开始递归，所以前面的都是特殊值
        //特殊值需要返回或初始化根据题目判断
        if(n <= 2) return n; 
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        
        //递推公式，从i=3开始满足
        for(int i=3;i<dp.length;i++){
            //到n级有两种方式：从n-1级跳或者从n-2级跳
            //所以跳到n级的方法 = 跳到n-1级的方法+跳到n-2级的方法
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        //上面的数组会将dp数组填写完整，返回dp[n]为最后结果
        return dp[n];
    }
}

标签：爬楼梯,公式,题目,递推,---,70,楼梯,方法,dp
来源： https://blog.csdn.net/z979220105/article/details/121522800