1、\((3x-2y)^{18}\) 的展开式中，\(x^5y^{13}\) 的系数？\(x^8y^9\) 的系数？

\(x^5y^{13}\) 的系数：\(-\dbinom{18}{5}3^52^{13}\)

\(x^8y^9\) 的系数：\(0\)

2、用二项式定理证明：\(3^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}2^k\)，扩展次结果，对任意实数 \(r\) 求和 \(3^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}r^k\)。

\(3^n=(1+2)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}2^k\)

\(\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}r^k=(r+1)^n\)

3、用二项式定理证明： \(2^n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}3^{n-k}\)。

\(2^n=(3-1)^k=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}3^{n-k}\)

4、求和 \(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}10^k\)。

• 若 \(n\) 为偶数，则 \(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}10^k=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\dbinom{n}{k}10^k=9^n\)
• 若 \(n\) 为奇数，则 \(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}10^k=-\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\dbinom{n}{k}10^k=-9^n\)

综上所述：\(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}10^k=(-9)^n\)

5、使用组合分析的方法证明：\(\dbinom{n}{k}-\dbinom{n-3}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-2}{k-1}+\dbinom{n-3}{k-1}\)。

移项得：\(\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-2}{k-1}+\dbinom{n-3}{k-1}+\dbinom{n-3}{k}\)

左式的意义：再 \(n\) 个小球里选 \(k\) 个出来。

右式的意义：先分离出一个球，选这个球，其他球选 \(k-1\) 个，则有 \(\dbinom{n-1}{k-1}\) 种选法。如果不取，则再分离出一个球，选这个球，其他球选 \(k-1\) 个，则有 \(\dbinom{n-2}{k-1}\) 种选法。如果不取，则再分离出一个球，选这个球，其他球选 \(k-1\) 个，则有 \(\dbinom{n-3}{k-1}\) 种选法。如果不取，在剩下的 \(n-3\) 个球中选择 \(k\) 个，则有 \(\dbinom{n-3}{k}\) 种选法。上述方法不重复，且与右边的取得结果相同。

6、设 \(n\) 是正整数，证明：

\[\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}^2=\begin{cases}0,\quad 若n为奇数\\ (-1)^m\dbinom{n}m, \quad 若n为偶数,其中2m=n \end{cases} \]

① 当 \(n\) 为奇数时

共有 \(n+1\) 项，且有 \(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}^2=\sum_{k=0}^{\frac n2}(-1)^k\dbinom{n}{k}^2+(-1)^{n-k}\dbinom{n-k}{k}^2=\sum_{k=0}^{\frac n2}(-1)^k\dbinom{n}{k}^2+(-1)^{k+1}\dbinom{k}{k}^2=0\)

② 当 \(n\) 为偶数时

对于任意 \(x\in \R\) 有：

\((x+1)^n(x-1)^n=(x^2-1)^n\)

将等式两边二项式展开得：\(\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}x^k\dbinom{n}{k}\sum_{k=0}^{n}x^k\dbinom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}x^{2k}\dbinom{n}{k}\)

由于 \(n\) 为偶数，则 \(k\) 与 \(n-k\) 同奇偶，等式可化为：\(\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}x^k\dbinom{n}{k}\sum_{k=0}^{n}x^k\dbinom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}\dbinom{n}{k}\)

由于对于原等式对于任意 \(x\) 恒等，所以 \(x^n\) 的系数相同。左式在第一个求和中取 \(x^k\)，则在第二个求和中取 \(x^{n-k}\) ，则对于 \(x^n\) 的系数又有等式：\(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{n-k}=(-1)^m\dbinom{n}m\)

进一步得到：\(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}^2=(-1)^m\dbinom{n}m\)

综上所述，原等式成立。

7、求出等于下列表达式的二项式系数：\(\dbinom{n}{k}+3\dbinom{n}{k-1}+3\dbinom{n}{k-2}+\dbinom{n}{k-3}\)。

结论：\(\dbinom{n+3}{k}=\dbinom{n}{k}+3\dbinom{n}{k-1}+3\dbinom{n}{k-2}+\dbinom{n}{k-3}\)

右式可化为：\(\dbinom{3}{0}\dbinom{n}{k}+\dbinom{3}{1}\dbinom{n}{k-1}+\dbinom{3}{2}\dbinom{n}{k-2}+\dbinom{3}{3}\dbinom{n}{k-3}\)

左式的意义：在 \(n+3\) 个小球中选 \(k\) 个。

右式的意义：选定任意 \(3\) 个小球，分为四种情况。

• 这 \(3\) 个小球都不选，则有 \(\dbinom{3}{0}\) 种情况，其他 \(n\) 个小球中选 \(k\) 个，则有 \(\dbinom{n}{k}\) 种情况，由乘法原理得有 \(\dbinom{3}{0}\dbinom{n}{k}\) 种情况。
• 这 \(3\) 个小球中选 \(1\) 个，则有 \(\dbinom{3}{1}\) 种情况，其他 \(n\) 个小球中选 \(k-1\) 个，则有 \(\dbinom{n}{k-1}\) 种情况，由乘法原理得有 \(\dbinom{3}{1}\dbinom{n}{k-1}\) 种情况。
• 这 \(3\) 个小球中选 \(2\) 个，则有 \(\dbinom{3}{2}\) 种情况，其他 \(n\) 个小球中选 \(k-2\) 个，则有 \(\dbinom{n}{k-2}\) 种情况，由乘法原理得有 \(\dbinom{3}{2}\dbinom{n}{k-2}\) 种情况。
• 这 \(3\) 个小球中选 \(3\) 个，则有 \(\dbinom{3}{3}\) 种情况，其他 \(n\) 个小球中选 \(k-3\) 个，则有 \(\dbinom{n}{k-3}\) 种情况，由乘法原理得有 \(\dbinom{3}{3}\dbinom{n}{k-3}\) 种情况。

综上四种情况，互不相干且包含所有情况，所以将这四种加起来得到右式，与左式结果相同。

8、证明 \(\dbinom{r}{k}=\frac{r}{r-k}\dbinom{r-1}{k}\)，其中 \(r\) 为实数，\(k\) 是整数且 \(r\neq k\)。

9、求和：\(1-\frac{1}{2}\dbinom{n}{1}+\frac{1}{3}\dbinom{n}{2}-\frac{1}{4}\dbinom{n}{3}+\dots+(-1)^n\frac{1}{n+1}\dbinom{n}{n}\)。

原式可化为：\(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{1}{k+1}\dbinom{n}{k}=\frac{1}{n+1}sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n+1}{k+1}\dbinom{n}{k}=(-1)^k\frac{1}{n+1}sum_{k=0}^{n}\dbinom{n+1}{k+1}=\frac{1}{n+1}[sum_{k=0}^{n+1}(-1)^{k+1}\dbinom{n+1}{k}+\dbinom{n+1}{k}]\)

由二项式定理得 \(sum_{k=0}^{n+1}(-1)^{k+1}\dbinom{n+1}{k}=0\)，所以原式等于 \(\frac{1}{n+1}\)。

10、证明：\(\dbinom{n+1}{k+1}=\dbinom{0}{k}+\dbinom{1}{k}+\dots +\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n}{k}\) 以及 \(m^2=2\dbinom{m}{2}+\dbinom{m}{1}\)。

① 原等式可化为：\(\dbinom{n+1}{k+1}=\dbinom{k}{k}+\dbinom{k+1}{k}+\dots +\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n}{k}\)

左式的意义：在 \(n+1\) 个小球中选 \(k+1\) 个。

右式的意义：枚举最后一个小球选的是哪一个，则在前面的小球中再选取 \(k\) 个。假设当前选定的球为 \(k+m\) 个（\(k+m\leq n+1\)），则在 \(k+m-1\) 个小球中选择 \(k\) 个小球，则有 \(\dbinom{k+m-1}{k}\) 中选法。最后再用加法将这些互不相干的方案加起来，则包含了左式的所有情况。

② 原等式可化为：\(m^2=\dbinom{2}{1}\dbinom{m}{2}+\dbinom{m}{1}\)

左式的意义：对于两个小球进行编号为 \(a\)，\(b\)。（\(a\) 和 \(b\) 可以相等，且 \(1\leq a,b\leq m\)）

右式的意义：分类讨论：

• 第一个小球与第二个小球的编号不同，则在 \(m\) 中选出 \(a,b\) 两个数，共有 \(\dbinom{m}{2}\) 种选法。再考虑将 \(a\) 分给哪一个小球，则共有 \(\dbinom{2}{1}\) 种选法。再用乘法法则将两者相乘。
• 第一个小球与第二个小球的标号相同，则在 \(m\) 中选出一个数，共有 \(\dbinom{m}{1}\) 种选法。

最后将两种情况加起来，等价于左式的意义。

11、求整数 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)，使得对所有的 \(m\) 有：\(m^3 = a\dbinom{m}{3}+b\dbinom{m}{2}+c\dbinom{m}{1}\) 。

结论：\(m^3 = 6\dbinom{m}{3}+6\dbinom{m}{2}+1\dbinom{m}{1}\)

证明：

左式的意义：对于三个小球进行编号为 \(x\)，\(y\)，\(z\)。（\(x\)、\(y\)、\(z\) 可以相等，且 \(1\leq x,y,z\leq m\)）

右式的意义：分类讨论：

• 三个小球种颜色互不相同。则转换为 \(x\)，\(y\)，\(z\) 三个颜色的排列，有 \(A_3^3\) 种情况。得 \(a=6\)。
• 三个小球种有两个小球颜色相同。先将这 \(2\) 种颜色选出来，则有 \(\dbinom{3}{2}\) 种选取方式。在考虑这两种颜色谁被用两次，谁被用一次，则式这两种颜色的排列，有 \(A_3^3\) 种情况。得 \(b=6\)。
• 三个小球都在 \(m\) 个颜色种选一个颜色来染色，即有 \(\dbinom{m}{1}\) 种选法。得 \(c=1\)。

综上所述，这三种情况互不干扰，且与左式等价。

12、设 \(n\) 和 \(k\) 是整数且满足 \(1\leq k\leq n\)。证明： \(\sum\limits_{k=1}^n\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{k-1}=\frac{1}{2}\dbinom{2n+2}{n+1}-\dbinom{2n}{n}\)。

左式可化为：\(\sum\limits_{k=1}^n\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{n-k+1}\)

右式可化为：\(\frac{n+1}{2n+2}\dbinom{2n+2}{n+1}-\dbinom{2n}{n}=\dbinom{2n+1}{n}-\dbinom{2n}{n}=\dbinom{2n}{n-1}=\dbinom{2n}{n+1}\)

左式的意义：将 \(2n\) 个数字分为前 \(n\) 个和后 \(n\) 个，枚举 \(n+1\) 个数字在左边中取 \(k\) 个，在右边中取 \(n-k+1\) 个。注意当 \(k\) 等于 \(0\) 时右边怎么取也取不到 \(n+1\) 个，所以 \(k=0\) 不影响答案。

右式的意义：在 \(2n\) 个数字中选取 \(n+1\) 个数。与左式等价。

13、设 n 和 k是整数，通过组合分析的方法证明：\(\sum\limits_{k=1}^nk\dbinom{n}{k}^2=n\dbinom{2n-1}{n-1}\)。

原等式可化为：\(\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{n-k}=\dbinom{2n-1}{n-1}\)

进一步可化为：\(\sum\limits_{k=1}^n\dbinom{n-1}{k-1}\dbinom{n}{n-k}=\dbinom{2n-1}{n-1}\)

左式的意义：把 \(2n-1\) 个小球分为 \(n-1\) 个和 \(n\) 个。在第一组小球取 \(k-1\) 个，在第二个小球取 \(n-k\) 个，共取 \(n-1\) 个的方案数。

右式的意义：在 \(2n-1\) 个小球中取 \(n-1\) 个小球的方案数。

两边的意义等价。

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