【渝粤题库】陕西师范大学200391 初等几何研究 作业(专升本)
作者:互联网
一、填空题
1、对直线a上任意两点A、B,把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作 ,并记作 。
2、在绝对几何中,外角定理的内容是: 。
3、第四组公理由 条公理组成,它们的名称分别是 。
4、欧氏平行公理是: 。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 ,不同之处是 。
6、几何证明的基本方法,从推理形式上分为 法与归纳法;从思维方向上分为 法与分析法;从命题结构上分为 证法与间接证法,其中间接证法包括 法与 法。
7、过反演中心的圆,其反演图形是 (过或不过)反演中心的 。
8、锐角三角形的所有内接三角形中,周长最短的是 三角形。
9、锡瓦定理:设⊿ABC的三边(所在直线)BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z,则AX、BY、CZ三线共点(包括平行)的充要条件是 。
10、解作图问题的常用方法有: 、 、 、 等。
11、数学公理系统的三个基本问题是 性、 性和 性.
12、对于共面的直线a和a外两点A、B,若a与(AB)相交,则称A、B在a的 ,否则称A、B在a的 .
13、命题:“过直线外一点,至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是 定理的推论.
14、证明直线和圆的连续性时,主要依据了 原理.
15、罗氏平行公理是: .
16、在罗氏几何中,共面的两条直线有 种关系,它们分别是
17、几何证明的通用方法一般有 法、 法、 法、 法、 法、 法等.
18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中,最长线段与另两条线段之和具有 的关系.
19、尺规可作图的充要条件是 .
20.由公理可以证明,线段的合同关系具有 性、 性、 性
和 性.
21.如果线段与角对应,那么线段的中点与角的 对应.
22.命题:“线段小于任意一条连接其两个端点的折线
”是 定理的推论.
23.绝对几何包括有 组公理,它们分别是 .
24.写出一条与欧氏平行公理等价的命题: .
25.在罗氏几何中,两条直线为分散线的充要条件是 .
26、.常用的几何变换有 等
27.托勒密定理:四边形ABCD是圆内接四边形,则 .
28.请写出两条作图公法: .
29.在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中,三角形的定义是: 。
30.巴士公理:设A、B、C三点不共线,a是A、B、C所在平面上的一条直线,但不通过A、B、C中任一点,若a通过线段AB上一点,则 。
31.命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由 公理保证的。
32.欧氏几何公理系统共有 组公理,它们分别是 。
33.写出一条与罗氏平行公理等价的命题: 。
34.罗氏函数的定义域是 ,值域是 ,其性质有 和 。
35.合同变换包括 变换、 变换和 变换。
36.梅内劳斯定理:设⊿ABC的三边(所在直线)BC、CA、AB被一直线分别截于X、Y、Z点,则X、Y、Z共线的充要条件是 。
37.解作图问题的步骤一般分为: 、 、 、 、 。
二、问答题:
1、在数学公理系统中,模型指的是什么?
2、巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性?
3、定义线段长度的两个条件是什么?
4、以下四个命题:“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形,它们相似但不合同”、“同一平面上,一条直线的垂线与其斜线必相交”,哪一个命题与欧氏平行公理不等价?
5、欧氏几何公理系统中,不加定义的原始概念有哪些?对它们为什么不加定义?
6、试给第一组公理一个模型.
7、第三组公理一共有几条?这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关?
8、定义两个线段的大、小关系用到了哪些关系?
9.欧氏几何公理系统中,不加定义的原始的关系概念有哪些?请解释它们的含义.
10.数学公理系统的三个基本问题是什么?其含义分别是什么?
11.公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语?
12.由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题?产生了什么结果?
13.原始关系概念“结合”的通常说法有哪些?
14.数学公理系统的三个基本问题中哪个最重要,必须首先满足?
15.在欧氏几何公理系统中,线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的?
16.在绝对几何公理系统中,命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否?若有问题,问题出在哪一步?为什么?
在⊿ABC中,过A作AD交BC于D,如图所示。
设⊿ABC的内角和为x,用ω表示直角,
则∠1+∠3+∠5=x,∠2+∠4+∠6=x;
∵∠3+∠4=2ω,且∠1+∠2+∠5+∠6=x,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x,
即x +2ω= 2x,因此x =2ω,得证。
三、轨迹问题:
1、 若三角形底边固定,其顶点在过底边一端的定直线上移动,则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。
2、 ⊿ABC的底边BC固定,∠A=α是定角,延长BA至D,使BD=BA+AC,求D点的轨迹.(只作分析,并指出轨迹的图形即可)
3、 到两定点A、B的距离之比为正实数m(m≠1)之点的轨迹是一个圆.
若三角形底边固定,其顶点在过底边一端的定直线上移动,则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。
四、作图问题
1、给定直线XY及其同侧两点A、B,
在XY上求作一点P,使得∠APX=∠BPY.
(只写作图过程并证明)
2、从已知圆外一点作一割线,使其圆外部分和圆内部分长度相等.(只写作图过程并讨论)
3、已知直线x、y平行,其外侧各有一点A、B
(如图),求作从A到B的最短路线,其中在x、y
之间的一段要求与x垂直.(只写作图过程并证明)
4、已知一边和该边的对角及此角的角平分线,求作三角形.
5.给定直线XY及其同侧两点A、B,
在XY上求作一点P,使得∠APX=∠BPY.
(只写作图过程并证明)
6.求作一圆,使该圆过两定点,并与一定直线相切.(只写作图过程)
7.已知直线x、y平行,其外侧各有一点A、B
(如图),求作从A到B的最短路线,其中在x、y
之间的一段要求与x垂直。(只写作图过程并证明)
8.给定锐角三角形ABC,求作其内接正方形,
使其两个相邻顶点在BC边上,
另两个顶点分别在AB和AC边上。(只写作图过程)
五、证明题
1、证明线段的合同关系满足反身性和对称性.
2、已知正方形ABCD,作BF∥AC,
使AF=AC,(如右图),
则3∠CAF=2∠CAB.
3、用同一法证明命题:已知P为正方形ABCD内一点,若∠PAB=∠PBA=15o,则⊿PCD是等边三角形.
4、过圆中AB弦的中点M任作两弦CD、EF,设CF、DE与AB分别交于P、Q,求证:PM=MQ.
5.利用前两组公理证明定理7:对于A、C两点, 直线AC上至少有一点B在A、C之间.
6.在⊿ABC边AB的同侧
作三个正方形ACEF、
CBGH、BAIJ(如右图),
求证:FJ∥AG,
且FJ=AG.
7.利用第一组公理和第二组公理的前三条,证明每条直线上至少有5个不同的点。
8.已知⊿ABC中,∠A∶∠B∶∠C = 4∶2∶1,求证:
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