第五章 留数及其应用
作者：互联网
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1. 孤立奇点
1.1 零点
定义
若
f
(
z
0
)
=
0
f(z_0) =0
f(z0)=0，则
z
=
z
0
z=z_0
z=z0为f(z)的零点
若
f
(
z
)
=
(
z
−
z
0
)
m
ϕ
(
z
)
f(z)=(z-z_0)^m \phi(z)
f(z)=(z−z0)mϕ(z)，
ϕ
(
z
)
\phi(z)
ϕ(z)在
z
0
z_0
z0处解析且值不为0，则
z
=
z
0
z=z_0
z=z0为f(z)的m阶零点
1.1.1 判断零点阶数
方法1： 求导
f
(
m
)
(
z
0
)
=
0
f^{(m)}(z_0) = 0
f(m)(z0)=0
方法二：级数展开提取公因式
(
z
−
z
0
)
(z-z_0)
(z−z0)
f
(
z
)
=
(
z
−
z
0
)
m
ϕ
(
z
)
f(z)=(z-z_0)^m \phi(z)
f(z)=(z−z0)mϕ(z)
1.2 孤立奇点
定义
设
z
0
z_0
z0为f(z)的奇点，其存在
δ
>
0
\delta >0
δ>0，使得f(z)在去心领域
0
<
∣
z
−
z
0
∣
<
δ
0<|z-z_0|<\delta
0<∣z−z0∣<δ内解析
1.2.1 孤立节点的分类
定义
若
z
0
z_0
z0为f(z)的孤立奇点，将f(z)在
0
<
∣
z
−
z
0
∣
<
δ
0<|z-z_0|<\delta
0<∣z−z0∣<δ内展开为洛朗级数
f
(
z
)
=
∑
−
∞
+
∞
(
z
−
z
0
)
n
f(z) = \sum_{-\infty}^{+\infty}(z-z_0)^n
f(z)=−∞∑+∞(z−z0)n
（1）可去奇点
若
∀
n
<
0
,
a
n
=
0
\forall n <0,a_n=0
∀n<0,an=0，则为可去奇点（解析）
判定方法：
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
=
c
\lim_{z \to z_0} f(z) = c
z→z0limf(z)=c
（2）N阶极点
若f(z)含N个负幂次项
a
n
(
n
<
0
)
a_n(n<0)
an(n<0)，则
z
0
z_0
z0称为f(z)的N阶极点
当N=1时，
z
0
z_0
z0为f(z)的简单极点
判定方法
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
=
∞
f
(
z
)
=
1
(
z
−
z
0
)
N
(
a
−
N
+
a
−
N
+
1
(
z
−
z
0
)
+
⋯
)
\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty \\ f(z) = \frac{1}{(z-z_0)^N}(a_{-N}+a_{-N+1}(z-z_0)+\cdots)
z→z0limf(z)=∞f(z)=(z−z0)N1(a−N+a−N+1(z−z0)+⋯)
（3）本性奇点
若
∀
N
<
0
,
∃
n
<
N
,
a
n
≠
0
\forall N <0, \exist n <N,a_n \neq 0
∀N<0,∃n<N,an=0（即含无限个负幂次项），则
z
0
z_0
z0称为f(z)的本性奇点
判定方法
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
不
存
在
\lim_{z \to z_0} f(z) 不存在
z→z0limf(z)不存在
1.3 判定极点的阶数[12]
若
f
(
z
)
=
ϕ
(
z
)
ψ
(
z
)
=
(
z
−
z
0
)
m
ϕ
1
(
z
)
(
z
−
z
0
)
n
ψ
1
(
z
)
f(z)=\frac{\phi(z)}{\psi(z)}=\frac{(z-z_0)^m \phi_1(z)}{(z-z_0)^n\psi_1(z)}
f(z)=ψ(z)ϕ(z)=(z−z0)nψ1(z)(z−z0)mϕ1(z)，则：
（1）当 m >= n时，
z
0
z_0
z0为f(z)的可去奇点
（2）当 m < n时，
z
0
z_0
z0为f(z)的(n-m)阶极点
可以通过洛朗级数转换判定奇点类型
2. 留数
2.1 留数的概念
定义
∮
f
(
z
)
d
z
=
⋯
+
∮
a
−
1
z
−
z
0
+
⋯
R
e
s
[
f
(
z
)
,
z
0
]
=
a
−
1
=
1
2
π
i
∮
f
(
z
)
d
z
\oint f(z)dz = \cdots + \oint \frac{a_{-1}}{z-z_0}+\cdots \\ Res[f(z),z_0] = a_{-1} = \frac{1}{2 \pi i} \oint f(z)dz
∮f(z)dz=⋯+∮z−z0a−1+⋯Res[f(z),z0]=a−1=2πi1∮f(z)dz
2.2 留数的计算方法[13]
1. 可去奇点
a
−
1
=
0
a_{-1} = 0
a−1=0
2. 本性奇点
a
−
1
=
a
n
=
1
2
π
i
∮
f
(
z
)
(
z
−
z
0
)
n
+
1
d
z
=
f
(
n
)
(
z
0
)
n
!
a_{-1} = a_n = \frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}
a−1=an=2πi1∮(z−z0)n+1f(z)dz=n!f(n)(z0)
3. M阶极点
a
−
1
=
1
(
m
−
1
)
!
lim
z
→
z
0
[
(
z
−
z
0
)
m
f
(
z
)
]
(
m
−
1
)
a_{-1} = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0}[(z-z_0)^mf(z)]^{(m-1)}
a−1=(m−1)!1z→z0lim[(z−z0)mf(z)](m−1)
当M=1，为简单极点时：
a
−
1
=
lim
z
→
z
0
[
(
z
−
z
0
)
f
(
z
)
]
a_{-1} = \lim_{z \to z_0}[(z-z_0)f(z)]
a−1=z→z0lim[(z−z0)f(z)]
当
f
(
z
)
=
P
(
z
)
Q
(
z
)
f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}
f(z)=Q(z)P(z)时：
R
e
s
(
f
(
z
)
,
z
0
)
=
P
(
z
0
)
Q
′
(
z
0
)
Res(f(z),z_0)=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}
Res(f(z),z0)=Q′(z0)P(z0)
步骤
① 判断级数类型
② 带入公式求留数
标签：frac,lim,奇点,第五章,dz,应用,留数,z0 来源： https://blog.csdn.net/koulongxin123/article/details/121319849