2021-2022 ACM-ICPC Brazil Subregional Programming Contest C Creating Multiples

目录

• • 知识点：同余、逆元、拓欧
  • 题意
  • 思路
  • 代码

知识点：同余、逆元、拓欧

题目链接

题意

b进制数最多使某一位减小使得新数是b+1的乘积，不能减输出-1，不用减输出0，否则输出减小的位的下标和减小后的新位。

思路

新数N是b+1的乘积转换为N%(b+1)=0，我们要让原数n取模为零，先算出原数的模m，根据同余的性质， n ≡ m ( m o d   b + 1 )    ⟺    n − m ≡ 0 ( m o d   b + 1 ) n\equiv m\quad (mod \ b+1) \iff n-m\equiv 0\quad (mod \ b+1) n≡m(mod b+1)⟺n−m≡0(mod b+1)。
找出减小m的方法，即找出 c i （ c i 为 新 数 ） < a i ( a i 为 原 数 ) 且 ( a i − c i ) × b i ≡ m ( m o d   b + 1 ) c_i（c_i为新数）<a_i(a_i为原数)且(a_i-c_i)\times b^i \equiv m\quad(mod \ b+1) ci​（ci​为新数）<ai​(ai​为原数)且(ai​−ci​)×bi≡m(mod b+1)（假设a，c逆序，i从0开始），就找出 a i − c i ≡ m × ( b i ) − 1 ( m o d   b + 1 ) a_i-c_i \equiv m\times (b^i)^{-1} \quad(mod \ b+1) ai​−ci​≡m×(bi)−1(mod b+1)
容易求出m，枚举i求出 b i b^i bi的逆元，与m相乘再判断得到的数字是否小于 a i a_i ai​即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10;

ll b,n;
ll arr[N];
ll sum[N];//实际只取sum[n]=m
ll invmuti[N];//b^i的逆元

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0) return x=1,y=0,a;
	ll t=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return t;
}
//拓欧求逆元，a和mod已经互质（b与b+1互质（没有公因子）
//b^i肯定与b+1互质（没有公因子））
inline ll inv(ll a,ll mod)
{
	ll x,y;
	exgcd(a,mod,x,y);
	return (x%mod+abs(mod))%mod;//最小非负解
}

void solve()
{
	scanf("%lld%lld",&b,&n);
	for(ll i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&arr[i]);
	reverse(arr,arr+n);
	ll muti=1;//b^i
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	{
		sum[i]=(sum[i-1]+arr[i-1]*muti%(b+1))%(b+1);
		invmuti[i-1]=inv(muti,b+1);
		muti=muti*b%(b+1);
	}
	ll d=sum[n];
	if(d==0)//原数已经整除
	{
		puts("0 0");
		return;
	}
	reverse(arr,arr+n);
	for(ll i=0;i<n;i++)
	{
		ll t=d*invmuti[n-1-i]%(b+1);
		if(t>arr[i]) continue;//a[i]-c[i]大于a[i]跳过
		printf("%lld %lld\n",i+1,arr[i]-t);
		return;
	}
	puts("-1 -1");
}

int main()
{
//	ll t;
//	scanf("%lld",&t);
//	init();
//	cout<<invfact[1]<<endl;
//	while(t--)
		solve();
	return 0;
}

标签：Brazil,arr,return,Creating,Contest,ll,逆元,sum,mod
来源： https://blog.csdn.net/qq_19315559/article/details/121220655