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线性代数 2

2021-11-07 10:32:23 作者：互联网

第五课转置 — 置换 — 向量空间R

一.向量空间

向量运算：相加和数乘(数是标量)

空间：很多向量.一整个空间的向量，但并不是任意向量的组合都能称为空间.

必须满足一定规则，必须能够进行加法和数乘运算，必须能够进行线性组合。

从例子开始(以下讨论均为实数)：

1. $R^{2}$ (这里都是二维实向量)称为一个xy平面,但是这里需要考虑成所有向量组成的向量空间,如:

$\begin{bmatrix} 3\\2 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} \pi \\e \end{bmatrix}$

还可在xy平面中做出图像(通常有箭头),水平(竖直)表示第一(二)分量，整个平面则是 $R^{2}$

$\bigstar$ 论原点的重要性：对于向量空间，有了这个向量，就必须满足这个向量乘以任何数(包括0),或加上向量空间内的任何向量(包括其相反向量)，其结果都必须在向量空间内，而原点显然也在结果之中，所以所有向量空间必须包含0向量(即原点)。

$R^{3}$ (所有三维实向量组成的向量空间) 如: $\begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 0 \end{bmatrix}$ 是三维向量,而不是二维向量, $\because$ 0也是一个分量

$R^{n}$ ，向量空间，包含了所有的n维向量(以列的形式,即列向量),且它们的分量都是实数

2.加法和数乘必须满足的8条运算规则，但其关键是能否在运算完成后仍处于空间内

“不能”的例子：只取 $R^{2}$ 的第一象限(所有分量均非负)

相加可以，但是数乘却不行： $-5\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}$ 其结果不在第一象限内

$\because$ 对于实数的数乘来说，它不是封闭的， $\therefore$ 第一象限不构成向量空间

$\therefore$ 向量空间必须对数乘和加法2种运算是封闭的or对线性组合封闭

二.子空间(类比子集)

1. $R^{2}$ 中的向量空间(即 $R^{2}$ 的向量子空间)

$\bullet$ 任意向量乘以任意的数，其结果均在一条直线上(不能对数乘封闭的，都不是向量空间)

检验加法：直线上的向量+直线上其他向量=直线上某个向量

$\therefore$ $R^{2}$ 的向量子空间可以是 $R^{2}$ 内的一条直线，但并不是 $R^{2}$ 内所有的直线都是子空间

只有 $R^{2}$ 内穿过原点的直线才是 $R^{2}$ 的子空间(论原点的重要性)

$\circ$ 如图五-二-1 实线是 $R^{2}$ 的一个向量子空间，而虚线上的向量数乘0将得到 $\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$ ,不在虚线上，所以虚线并不是 $R^{2}$ 的一个向量子空间。

图五-二-1

综上，a.列出 $R^{2}$ 所有的子空间：1， $R^{2}$ 本身( $R^{2}$ 最大的子空间)

2，穿过原点、两端无限延伸的直线

$\bullet$ $R^{1}$ 也都是直线，但两者并不相同(类似，但截然不同)， $R^{1}$ 只有一个分量，而“2，”中的直线是 $R^{2}$ 中的直线，都有两个量。

3，只包含零向量，通常用Z来表示零向量( $\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$ )

$\bullet$ 一个零向量就能满足所有法则，它总是构成最小的子空间，而最大的子空间是空间本身

b.列出 $R^{3}$ 所有的子空间：1， $R^{3}$ 本身(最大的子空间)

2，穿过原点、两点无限延伸的直线

3，穿过原点的平面

$\bullet$ 两个向量不共线，构成一个过原点的平面 $\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3\\ 3\\ 1 \end{bmatrix}$

两个向量共线，构成一条过原点的直线

4，单个零向量(单个矢量的空间) $\begin{bmatrix} 0\\ 0\\0 \end{bmatrix}$

2.如何得到向量空间？ 矩阵构造

例.如何得到 $R^{3}$ ？

核心思想：通过某些向量(属于 $R^{3}$ )构成一个向量组的空间(属于 $R^{3}$ )

a.通过列向量构造

A $\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2& 3\\ 4&1 \end{bmatrix}$ (在 $R^{3}$ 中)通过一系列的线性组合(加法and数乘)所得到的向量构成一个子空间[即列空间，记作C(A)]

$\bullet$ 构造矩阵列空间，只用取出矩阵的各列进行线性组合，后所有的线性组合结果构成列空间

第六课用向量空间和列空间理解 Ax=b

未完待续。。。

标签：直线,原点,数乘,线性组合,线性代数,空间,向量
来源： https://blog.csdn.net/Hundred_Xu/article/details/121175471