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图论━━最短路问题

2021-11-04 02:00:06 作者：互联网

问题
单源最短路
- 边权都是正数
  - 朴素Dijkstra O(n^2)
  - 堆优化的Dijkstra O(mlogn)
- 存在负权边
  - Bellman-Ford 算法 O(nm)
  - SPFA （没有负环）
多源汇最短路
- Floyd 算法 O(n^3)
相关题解

问题

图论中的最短路问题，求两个点之间最短距离（路径）的问题；

规定使用n: 表示点的数量；m: 表示边的数量；边数m是顶点数n的平方级别视为稠密图

稠密图使用邻接矩阵存储
稀疏图使用邻接表存储（使用数组模拟）
只考虑有向图，如果是无向图则每条边存储两次即可；默认只考虑有向图

算法总结：

单源最短路

求从一个点到其他所有点的最短距离，顶点为1,2,3...n，求顶点1到其他所有顶点的最短路

边权都是正数

Dijkstra基于贪心算法

朴素的Dijkstra算法\(O(n^2)\)适用于稠密图，边数多的情形\(m=n^2\)，此时比堆优化好
堆优化版Dijkstra算法\(O(mlogn)\)适用于稀疏图，m和n同阶的情形\(m<n^2\)

朴素Dijkstra O(n^2)

稠密图使用邻接矩阵存储

边权是正数时，如果数据出现自环和重边需要预处理：

省略自环
重边只保存最短的边

距离都是单源点1号点到其他点的距离，使用dist[N]数组保存当前距离；维护一个已经确定最小距离的点的集合S，使用了st[N]数组来标记：

算法思路：

1. 初始化距离    dist[1]=0, dist[i]=\infity
2. for i: 1~n:  
	 t <-- 不在S中的点，且距离最近的点
     S <-- t（将t加入到S中)
     用点t来更新其他点的距离

朴素版Dijkstra算法

Dijkstra求最短路 I

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510;

int n, m;
int g[N][N]; // 邻接矩阵
int dist[N]; // 当前顶点1到所有点的距离
bool st[N];  // 是否加入集合S(已知最短距离的点集合)

int dijkstra()
{
	// 初始化当前的距离
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;

	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int t = -1;
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
				t = j;
		st[t] = true;
	
		// 更新相邻顶点的距离
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
	}
	
	//判断dist[n]
	if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)
		return -1;
	return dist[n];
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);

	memset(g, 0x3f, sizeof g);
	
	while (m--)
	{
		int a, b, c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		// 处理多重边
		g[a][b] = min(g[a][b], c);
	}
	
	int t = dijkstra();
	printf("%d\n", t);
}

堆优化的Dijkstra O(mlogn)

稀疏图--使用邻接表存储，方便遍历邻接边，h[N],w[N],e[N],ne[N]

采用stl的priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> queue;

存在负权边

Bellman-Ford算法 O(nm)
SPFA 一般：O(m)，最坏O(nm); 是Bellman-Ford算法的一个优化, 效率比Bellman-Ford好

但是不是所有的问题都可以用SPFA做，例如最短路边数<=k的最短路，只能使用Bellman-Ford算法

Bellman-Ford 算法 O(nm)

边的存储方式：只要能够遍历所有的边就可以；

struct edge{  
	int a,b,w;  
}edges[N];  


for 1:n :  
	for 所有边 a,b,w     (a -w-> b)
        dist[b]=min(dist[b], dist[a]+w(a,b));

思想：因为最短路径最多为n-1个边的组合;

松弛n-1次，一定可以松弛完最远的点，得到所有的最短距离

注意：每次迭代，是对同一个状态进行迭代的，对相同的距离状态进行更新（备份）

说明

迭代k次，表示1号点不超过k条边的最短距离
如果经过n次迭代，第n次最短路径还有更新，说明这个n条边的路径上n+1个节点，有环，说明有负环，因此，可以判断有负环，但通常使用spfa判断

SPFA （没有负环）

一般是O(m),网格图可能卡成O(nm)

对Bellman-Ford算法的改进, 只有点a变小了，才有可能更新邻点的距离

使用一个队列，存储所有距离变小的点a

求没有负环的最短路，直接用队列开优化
判断负环，判断路径的长度是否>=n (注意这里需要将所有点预先加入队列)

多源汇最短路

起点和终点都不确定，都任意

Floyd算法 O(n^3) ---基于动态规划原理

都使用有向图来建图，无向图建立2条双向边即可
稠密图使用邻接矩阵g[N][N]存储边；稀疏图使用邻接表，h[N], e[N],ne[N],idx
有负权回路的图，不一定存在最短路，负环不在路径上也可能求到某点的最短路径

Floyd 算法 O(n^3)

* 使用邻接矩阵存储 d[N][N];