float类型的存储

之前我们学过了Java的四种基本整数类型：

• byte（1字节）

• short（2字节）

• int（4字节）

• long（8字节）

其中一个字节是8位，所以能表示的个数就是2^8*x个(其中x表示字节数)

因为有正数和负数，所以就是2^8*x-1到​2^8*x-1​-1个，正数为什么要减一呢，因为有个0算正整数。

可能看起来不太简洁但意思就是这个意思

而浮点数分别为float（4字节）和double（8字节）

也就是32位和64位

这在计算机中要怎么表示呢

无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：

• 符号位(Sign) ：0代表正，1代表为负

• 指数位（Exponent）：用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储

• 尾数部分（Mantissa）：尾数部分

首先我们知道常用科学计数法是将所有的数字转换成(±)a.b x 10^c ​的形式，其中a的范围是1到9共9个整数，b是小数点后的所有数字，c是10的指数。

而计算机中存储的都是二进制数据，所以float存储的数字都要先转化成(±)a.bx2^c​，由于二进制中最大的数字就是1，所以表示法可以写成(±)1.b x 2^c​的形式，float要想存储小数就只需要存储(±)，b和c就可以了。

float的存储正是将4字节32位划分为了3部分来分别存储正负号，小数部分和指数部分的：

Sign（1位）：用来表示浮点数是正数还是负数，0表示正数，1表示负数。

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Exponent（8位）：指数部分。即上文提到数字c，但是这里不是直接存储c，为了同时表示正负指数以及他们的大小顺序，这里实际存储的是c+127。

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Mantissa（23位）：尾数部分。也就是上文中提到的数字b。

三部分在内存中的分布如下，用首字母代替类型

S	E	E	E	E	E	E	E	E	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M
0	1	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1

float存储示例

以数字6.5为例，看一下这个数字是怎么存储在float变量中的：

先来看整数部分，模2求余可以得到二进制表示为110。

再来看小数部分，乘2取整可以得到二进制表示为.1（如果你不知道怎样求小数的二进制，请主动搜索一下）。

拼接在一起得到110.1然后写成类似于科学计数法的样子，得到1.101 x ​ 2²。

从上面的公式中可以知道符号为正，尾数是101，指数是2。

符号为正，那么第一位填0，指数是2，加上偏移量127等于129，二进制表示为10000001，填到2-9位，剩下的尾数101填到尾数位上即可

S	E	E	E	E	E	E	E	E	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M
0	1	0	0	0	0	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

内存中二进制数01000000 11010000 00000000 00000000表示的就是浮点数6.5

float范围

明白了上面的原理就可求float类型的范围了，找到所能表示的最大值，然后将符号为置为1变成负数就是最小值，要想表示的值最大肯定是尾数最大并且指数最大，那么可以得到尾数为 0.1111 1111 1111 1111 1111 111，指数为 1111 1111，但是指数全为1时有其特殊用途，所以指数最大为 11111110，指数减去127得到127，所以最大的数字就是1.1111111 1111111 11111111 x 2¹²⁷​，这个值为 340282346638528859811704183484516925440，通常表示成3.4028235E38 ​，那么float的范围就出来了：

[-3.4028235E38, 3.4028235E38]

float精度

float 类型的数据精度取决于尾数，相信大家都知道这一点，但是精度怎么算我也是迷糊了好久，最近在不断尝试的过程中渐渐的明白了，首先是在不考虑指数的情况下23位尾数能表示的范围是[0, ​2²³− 1],实际上尾数位前面还隐含了一个"1"，所以应该是一共24位数字，所能表示的范围是[0, ​2²⁴​-1](因为隐含位默认是"1"，所以表示的数最小是1不是0，但是先不考虑0，后面会特殊介绍，这里只按一般值计算），看到这里我们知道这24位能表示的最大数字为 ​2²⁴​-1，换算成10进制就是16777215，那么[0, 16777215]都是能精确表示的，因为他们都能写成1.b x​2^c的形式，只要配合调整指数c就可以了。

16777215 这个数字可以写成1.1111111 11111111 1111111 *​ 2²³，所以这个数可以精确表示，然后考虑更大的数16777216，因为正好是2的整数次幂，可以表示1.0000000 00000000 00000000 *​ 2²⁴，所以这个数也可以精确表示，在考虑更大的数字16777217，这个数字如果写成上面的表示方法应该是 1.0000000 00000000 00000000 1 *​ 2²⁴，但是这时你会发现，小数点后尾数位已经是24位了，23位的存储空间已经无法精确存储，这时浮点数的精度问题也就是出现了。

看到这里发现 16777216 貌似是一个边界，超过这个数的数字开始不能精确表示了，那是不是所有大于16777216的数字都不能精确表示了呢？其实不是的，比如数字 33554432 就可以就可以精确表示成1.0000000 00000000 00000000 *​ 2²⁵，说道这里结合上面提到的float的内存表示方式，我们可以得出大于 16777216 的数字（不超上限），只要可以表示成小于24个2的n次幂相加，并且每个n之间的差值小于24就能够精确表示。换句话来说所有大于 16777216 的合理数字，都是[0, 16777215]范围内的精确数字通过乘以​得到的，同理所有小于1的正数，也都是 [0, 16777215] 范围内的精确数字通过乘以​得到的，只不过n取负数就可以了。

16777216 已经被证实是一个边界，小于这个数的整数都可以精确表示，表示成科学技术法就是1.6777216 *10⁷ ​,从这里可以看出一共8位有效数字，由于最高位最大为1不能保证所有情况，所以最少能保证7位有效数字是准确的，这也就是常说float类型数据的精度。

float小数

从上面的分析我们已经知道，float可表示超过16777216范围的数字是跳跃的，同时float所能表示的小数也都是跳跃的，这些小数也必须能写成2的n次幂相加才可以，比如0.5、0.25、0.125…以及这些数字的和，像5.2这样的数字使用float类型是没办法精确存储的，5.2的二进制表示为101.0011001100110011001100110011……最后的0011无限循环下去，但是float最多能存储23位尾数，那么计算机存储的5.2应该是101.001100110011001100110，也就是数字 5.19999980926513671875，计算机使用这个最接近5.2的数来表示5.2。关于小数的精度与刚才的分析是一致的，当第8位有效数字发生变化时，float可能已经无法察觉到这种变化了。

float特殊值

我们知道float存储浮点数的形式是(±)1.b x 2^c ​，因为尾数位前面一直是个1，所以无论b和c取什么样的值，都无法得到0，所以在float的表示方法中有一些特殊的约定，用来表示0已经其他的情况。

float的内存表示指数位数有8位，范围是[0, 255]，考虑偏移量实际的指数范围是[-127,128]，但实际情况下指数位表示一般数字时不允许同时取0或者同时取1，也就是指数位的实际范围是[-126,127]，而指数取-127和128时有其特殊含义，具体看下面表格：

符号位	指数位	尾数位	数值	含义
0	全为0	全为0	+0	正数0
1	全为0	全为0	-0	负数0
0	全为0	任意取值f	0.f∗2-126​	非标准值，尾数前改为0，提高了精度
1	全为0	任意取值f	0.f∗2-126​	非标准值，尾数前改为0，提高了精度
0	全为1	全为0	+Infinity	正无穷大
1	全为1	全为0	-Infinity	负无穷大
0/1	全为1	不全为0	NaN	非数字，用来表示一些特殊情况

总结

1. float的精度是保证至少7位有效数字是准确的

2. float的取值范围[-3.4028235E38, 3.4028235E38]，精确范围是[-340282346638528859811704183484516925440, 340282346638528859811704183484516925440]

3. 一个简单的测试float精度方法，C++代码中将数字赋值给float变量，如果给出警告warning C4305: “=”: 从“int”到“float”截断，则超出了float的精度范围，在我的测试中赋值为16777216及以下整数没有警告，赋值为16777217时给出了警告。

 

标签：表示,全为,存储,数字,尾数,float,类型
来源： https://www.cnblogs.com/recorderM/p/15489651.html