除法分块

计算一个式子：\(\sum\limits_{i = 1}^n \cfrac{n}{i}\)。
很明显可以直接一个\(for\)循环，\(O(n)\)求出结果，但是我们可以将其优化到\(O(\sqrt n)\)。

例题 AcWing199. 余数之和

给定正整数n和k，计算\((k \mod 1) + (k \mod 1) + ... + (k \mod n)\)的值。 \(1 \leq n, k \leq 10^9\)。

首先我们知道\(k \mod i = k - \lfloor \cfrac{k}{i} \rfloor * i\)
所以上边式子可以化简为，\(n * k - \sum\limits_{i = 1}^n \lfloor \cfrac{k}{i} \rfloor * i\)，所以我们最主要的就是处理\(\lfloor \cfrac{k}{i} \rfloor\)。

首先对于\(n = 10\)、\(k = 5\)打个表，\(i \in [1, n]\)：（渲染之后，表格糊了，凑合看吧）

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
k/i	5	2	1	1	1	0	0	0	0	0

很明显，我们发现\(\lfloor \cfrac{k}{i} \rfloor\)的值呈区间变化，而除法分块就是让我们可以快速算出每一个区间的\(l\)和\(r\)端点，然后计算即可。

对于每一个区间，左端点\(x = gx + 1\)我们可以直接更新，然后对于右端点，先说结论，\(gx = \lfloor k / \lfloor k / x\rfloor \rfloor\)。

为什么呢？
对于\(x \in [1, k]，\)我们设\(g(x) = \lfloor k / \lfloor k / x\rfloor \rfloor\)。首先明白\(f(x) = k / x\)是一个单调递减函数，然后我们现在来构造，\(g(x) = \lfloor k / \lfloor k / x\rfloor \rfloor \geq\) \(\lfloor k/(k / x) \rfloor\)，那么\(\lfloor k / g(x) \rfloor \leq \lfloor k / x \rfloor\)。

再证明\(\lfloor k / g(x) \rfloor \geq \lfloor k / x \rfloor\)。

\(\lfloor k / g(x) \rfloor \geq \lfloor k / (k / \lfloor k / x \rfloor) \rfloor\)。

综上，得\(\lfloor k / g(x)\rfloor = \lfloor k / x \rfloor\)。

所以对于，\(\forall i \in [x, \lfloor k / \lfloor k / x \rfloor \rfloor]\)，\(\lfloor k / i \rfloor\)的值都相等。

现在可以求区间端点的值了，下边证明为什么是\(O(\sqrt n)\)。
当\(i \leq \sqrt n\)时，\(\lfloor k / i \rfloor\)最多有\(\sqrt k\)个不同的值，而当\(i > \sqrt k\)时,\(\lfloor k / i \rfloor < \sqrt k\)，所以\(\lfloor k / i \rfloor\)最多也只有\(\sqrt k\)个不同的值，那么现在就明白了，我们上面分的块，最多有\(2 \sqrt k\)块，因此就是\(O(\sqrt n)\)级别。

对于题目要求\(\sum\limits_{i = l}^r \lfloor \cfrac{k}{i} \rfloor * i\) = \(\sum\limits_{i = l}^r \lfloor \cfrac{k}{l} \rfloor * i\) = \(\lfloor \cfrac{k}{l} \rfloor \sum\limits_{i = l}^r i\)，后边用等差数列求和公式即可。

// Problem: 余数之和
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/201/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
	long long n, k;
	cin >> n >> k;
	long long res = n * k;
	for (int x = 1, gx; x <= n; x = gx + 1) {
		if (k / x == 0) gx = n;
		else gx = min(k / (k / x), n);
		res -= (k / x) * (x + gx) * (gx - x + 1) / 2;
	}
	
	cout << res << endl;
	
    return 0;
}

标签：lfloor,limits,分块,sum,sqrt,cfrac,rfloor,除法
来源： https://www.cnblogs.com/ZhengLijie/p/15487777.html