求极限什么情况可以拆开？
作者：互联网
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求极限什么情况可以拆开？
答：
1.B乎
总结：就是极限为加减形式时，只要有一个存在就可以拆，乘除时如果没有出现无穷小，只要有一个存在就可以拆，但如果出现无穷小，就要慎重考虑另一个函数是否存在，如果不存在就不能拆。
(我的理解：乘除也许说的是这个：
若
lim
f
(
x
)
=
A
≠
0
,
则
lim
f
(
x
)
g
(
x
)
=
A
lim
g
(
x
)
若\lim\limits_{}f(x)=A\ne0,则\lim\limits_{}f(x)g(x)=A\lim\limits_{}g(x)
若limf(x)=A=0,则limf(x)g(x)=Alimg(x))
详细过程：https://www.zhihu.com/question/403077283
2.矿爷
3.biu神：
极限为加减形式时，只要有一个存在就可以拆。
合并也是一样的道理：只要两个极限有一个存在就可以合并
例题：
lim
x
→
0
1
+
x
cos
x
−
1
+
sin
x
x
2
\begin{aligned} &\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x\cos x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^2} \end{aligned}
x→0limx21+xcosx
−1+sinx
错误做法：
原
式
=
lim
x
→
0
1
+
x
cos
x
−
1
+
1
−
1
+
sin
x
x
2
=
lim
x
→
0
1
+
x
cos
x
−
1
x
2
−
lim
x
→
0
1
+
sin
x
−
1
x
2
=
lim
x
→
0
1
2
x
cos
x
x
2
−
lim
x
→
0
1
2
sin
x
x
2
=
lim
x
→
0
1
2
cos
x
x
−
lim
x
→
0
1
2
x
(
这
里
错
了
，
原
式
不
能
拆
)
=
lim
x
→
0
1
2
(
cos
x
−
1
)
x
(
不
能
合
并
)
=
lim
x
→
0
1
2
⋅
1
2
x
2
x
=
0
\begin{aligned} 原式&=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x\cos x}-1+1-\sqrt{1+\sin x}}{x^2}\\ &=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x\cos x}-1}{x^2}-\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{x^2}\\ &=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x\cos x}{x^2}-\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}\sin x}{x^2}\\ &=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}\cos x}{x}-\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}}{x}(这里错了，原式不能拆)\\ &=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}(\cos x-1)}{x}(不能合并)\\ &=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}x^2}{x}\\ &=0\\ \end{aligned}
原式=x→0limx21+xcosx
−1+1−1+sinx
=x→0limx21+xcosx
−1−x→0limx21+sinx
−1=x→0limx221xcosx−x→0limx221sinx=x→0limx21cosx−x→0limx21(这里错了，原式不能拆)=x→0limx21(cosx−1)(不能合并)=x→0limx21⋅21x2=0
原因：第四部错了拆开后没有极限，所以不能原式不能拆，所以更不能合并，下面都错了。
正确做法：
原
式
=
lim
x
→
0
1
1
+
x
cos
x
+
1
+
sin
x
⋅
x
cos
x
−
sin
x
x
3
=
1
2
lim
x
→
0
x
cos
x
−
sin
x
x
3
=
1
2
lim
x
→
0
cos
x
−
x
sin
x
−
cos
x
3
x
2
=
−
1
2
lim
x
→
0
x
sin
x
3
x
2
(
这
里
用
一
下
等
价
无
穷
小
更
快
)
=
−
1
2
lim
x
→
0
sin
x
+
x
cos
x
6
x
=
−
1
2
lim
x
→
0
cos
x
+
cos
x
−
x
sin
x
6
=
−
1
6
\begin{aligned} 原式&=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x\cos x}+\sqrt{1+\sin x}}\cdot\frac{x\cos x-\sin x}{x^3}\\ &=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^3}\\ &=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos x-x\sin x-\cos x}{3x^2}\\ &=-\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to0}\frac{x\sin x}{3x^2}(这里用一下等价无穷小更快)\\ &=-\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x+x\cos x}{6x}\\ &=-\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos x+\cos x-x\sin x}{6}\\ &=-\frac{1}{6}\\ \end{aligned}
原式=x→0lim1+xcosx
+1+sinx
1⋅x3xcosx−sinx=21x→0limx3xcosx−sinx=21x→0lim3x2cosx−xsinx−cosx=−21x→0lim3x2xsinx(这里用一下等价无穷小更快)=−21x→0lim6xsinx+xcosx=−21x→0lim6cosx+cosx−xsinx=−61
重要思想：
这里提供了一个思路:
这种大根号的不仅可以+1-1，还可以有理化来做。
想法有时候比金子更加宝贵。——丘成桐
标签：cos,frac,limits,lim,拆开,极限,情况,sin,0lim 来源： https://blog.csdn.net/weixin_46585199/article/details/121055791