代数学笔记: 域扩张(二)
作者:互联网
写在前面
之前我已经介绍了有关代数学第一部分域扩张的简单总结, 今天重新听了一遍老师的复习课, 对之前内容的理解又有了加深, 所以赶紧趁热打铁总结一下, 增加一些高等代数中的有关概念, 以及域扩张中的一些基本定理的证明.
高等代数补充概念
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零化多项式:
设 V V V是域 F F F上的线性空间(可以是无限维的), A \bf A A是 V V V上的一个线性变换(矩阵). 如果 F F F上的一元多项式 f ( x ) f(x) f(x)使得 f ( A ) = 0 f(\bf{A})=0 f(A)=0, 那么称 f ( x ) f(x) f(x)是 A \bf A A的一个零化多项式.
抽代定义
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代数元与单代数扩张
设 E E E是域 F F F的扩张, α ∈ E \alpha\in E α∈E, 如果存在 F F F上的非零多项式 f ( x ) f(x) f(x),使得 f ( α ) = 0 f(\alpha)=0 f(α)=0, 那么 α \alpha α称为 F F F上的代数元(algebraic element). F ( α ) F(\alpha) F(α)称为 F F F上的一个单代数扩张.
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超越元和单超越扩张
如果对于 F F F上任意一个非零多项式 g ( x ) g(x) g(x), 都有 g ( α ) ≠ 0 g(\alpha)\not=0 g(α)=0, 那么称 α \alpha α为域 F F F上的一个超越元. 这时 F ( α ) F(\alpha) F(α)称为 F F F上的一个单超越扩张.
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极小多项式
设 E E E是域 F F F的扩张, α ∈ E \alpha\in E α∈E是 F F F上的一个代数元, 那么 F [ x ] F[x] F[x]中使得 p ( α ) = 0 p(\alpha)=0 p(α)=0的次数最小的首1多项式
p ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 p(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a0
叫做 α \alpha α在 F F F上的极小多项式.
基本引理
域扩张中极小多项式整除零化多项式
设 E E E是域 F F F的扩张, α ∈ E \alpha\in E α∈E是 F F F上的一个代数元, 如果 p ( x ) p(x) p(x)是 α \alpha α在 F F F上的极小多项式, f ( x ) ∈ F [ x ] f(x)\in F[x] f(x)∈F[x]是 α \alpha α 的零化多项式, 则有 p ( x ) ∣ f ( x ) p(x)\,|\,f(x) p(x)∣f(x).
Pf:
由多项式的带余除法, 可设 f ( x ) = p ( x ) q ( x ) + r ( x ) f(x)=p(x)q(x)+r(x) f(x)=p(x)q(x)+r(x), 其中余式 r ( x ) r(x) r(x)等于零或不等于零, 且有 deg p ( x ) > deg r ( x ) \deg p(x)>\deg r(x) degp(x)>degr(x).
如果 r ( x ) ≠ 0 r(x)\ne0 r(x)=0, 因为 r ( α ) = f ( α ) − p ( α ) q ( α ) = 0 r(\alpha)=f(\alpha)-p(\alpha)q(\alpha)=0 r(α)=f(α)−p(α)q(α)=0, 于是 r ( x ) r(x) r(x)也是 α \alpha α的零化多项式, 与 p ( x ) p(x) p(x)是极小多项式矛盾, 于是 r ( x ) = 0 r(x)=0 r(x)=0, p ( x ) ∣ f ( x ) p(x)\,|\,f(x) p(x)∣f(x).
域扩张主要内容
扩域可以看成子域上的线性空间, 这是理解扩域的一个基本的方法.
干域定义
干域(stem field, 也称为单扩张)
f ( x ) ∈ K [ x ] f(x)\in K[x] f(x)∈K[x]为 n n n次不可约多项式( n ⩾ 2 n\geqslant2 n⩾2), 必存在 K K K的扩域 L L L, 使得 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0在 L L L中至少有一个根, 则 K ( α ) K(\alpha) K(α)为 L L L中关于 K K K上不可约多项式 f f f的干域. 其中, [ K ( α ) : K ] = n [K(\alpha):K]=n [K(α):K]=n.
干域的存在唯一性
存在性
由加法和乘法构成域.
唯一性
不同单扩张之间互相同构. 这里的同构是通过域同态定义的.
设
f
(
x
)
∈
F
[
x
]
f(x)\in F[x]
f(x)∈F[x]是一个首1不可约多项式, 若存在干域
E
(
α
)
E(\alpha)
E(α), 考虑多项式环
F
[
x
]
F[x]
F[x]上的满同态
F
[
x
]
→
E
g
(
X
)
↦
g
(
α
)
\begin{aligned} F[x]&\to E\\ g(X)&\mapsto g(\alpha)\\ \end{aligned}
F[x]g(X)→E↦g(α)
其核(kernel)由
f
f
f的一个非零首一多项式(亦即极小多项式)生成(需要用到环同态基本定理), 因此
F
[
x
]
→
E
x
↦
α
w
h
e
r
e
F
[
x
]
=
F
[
X
]
/
(
f
)
.
\begin{aligned} F[x]&\to E\\ x&\mapsto \alpha\\ \end{aligned} \qquad where\,F[x]=F[X]/(f).
F[x]x→E↦αwhereF[x]=F[X]/(f).
f
f
f的干域
E
(
α
)
E(\alpha)
E(α)与标准干域
F
[
X
]
/
(
f
)
(
x
)
F[X]/(f)(x)
F[X]/(f)(x)是
F
−
F-
F−同构的.
不可约多项式
f
f
f可以写成:
a
0
+
a
1
α
+
⋯
+
a
m
−
1
α
m
−
1
,
a
i
∈
F
,
m
=
deg
f
.
a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{m-1}\alpha^{m-1}, a_i\in F, m=\deg f.
a0+a1α+⋯+am−1αm−1,ai∈F,m=degf.
标签:代数,多项式,干域,笔记,代数学,alpha,deg,域扩张 来源: https://blog.csdn.net/qq_41437512/article/details/120969670