微分、差分和变分的概念
作者：互联网
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微分：是当自变量x变化了一点点（dx）而导致了函数（f(x)）变化了多少。
比如，国民收入Y=f(c)，c是消费，那c变化了dc时，会导致Y变化多少呢？变化dY，这就是微分，而dY/dc就是这个单变量函数的导数。把微分dY视为dx的线性函数，那么导数就是这个线性函数的系数：注意，这个视角甚至可以推广到微分流形、泛函，等你以后深入学习到更高的层次就会知道，现代数学对于微分的认识是：算子“d”代表着从流形上的n-1-形式场到n-形式场的一种线性映射。这里作个解释：流形，你就理解为弯曲/扭曲空间，二维流形直观上你可以理解为曲面，但还是有区别，因为我们说曲面总是想着三维空间中的一张曲面，也就是说，我们默认是把曲面嵌入到三维欧式空间中去的，但流形意味着我们把曲面本身当作空间去研究。流形理论里的“微分”有很多很多：我们说的算子d叫外微分，除此之外还有协变微分/协变导数，李导数，等等。这里就不扯那么远了。
差分：粗糙地讲，就是离散化的微分，即y。当变化量很微小时，就近似看成dy。差分的概念还是比较初等的，高中就应该接触不少了。
变分：无限维空间上的微分，我们一般称之为Frechet微分，其实就是微分在无限维空间的推广（照搬）。Frechet微分作用于泛函就叫变分。这里就不扯什么泛函分析里的Banach空间微分理论了，简单说下，泛函是将函数空间（无限维空间）映射到数域，就是，把一个函数映射成一个数。打个比方，从A点到B点有无数条路径，每一条路径都是一个函数吧？这无数条路径，每一条函数（路径）的长度都是一个数，对吧？那你从这无数个路径当中选一个路径最短或者最长的，这就是求泛函的极值问题。有一种老的叫法，函数空间的自变量我们称为宗量（自变函数），当宗量变化了一点点而导致了泛函值变化了多少，这其实就是变分。变分，就是微分在函数空间的拓展，其精神内涵是一致的。求解泛函变分的方法主要有古典变分法、动态规划和最优控制
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