椭圆曲线密码学：一个温和的介绍 - Andrea Corbellini

知道什么是公钥密码学的人可能已经听说过ECC、ECDH或ECDSA。第一个是 Elliptic Curve Cryptography 的首字母缩写，其他是基于它的算法的名称。

今天，我们可以在TLS、PGP和SSH 中找到椭圆曲线密码系统，这只是现代网络和 IT 世界所基于的三种主要技术。更不用说比特币和其他加密货币了。

在 ECC 流行之前，几乎所有的公钥算法都是基于 RSA、DSA 和 DH 的，这是基于模块化算法的替代密码系统。RSA 和朋友今天仍然非常重要，并且经常与 ECC 一起使用。然而，尽管 RSA 和朋友们背后的魔力很容易解释，被广泛理解，并且可以很容易地编写粗略的实现，但 ECC 的基础对大多数人来说仍然是个谜。

通过一系列博客文章，我将向您简要介绍椭圆曲线密码学的世界。我的目标不是提供 ECC 的完整和详细指南（网络上充满了有关该主题的信息），而是提供一个简单概述 ECC 是什么以及为什么它被认为是安全的，而不会在冗长的数学证明上浪费时间或无聊的实现细节。我还将提供有用的示例以及可视化交互工具和脚本来使用.

具体来说，以下是我将涉及的主题：

1. 实数上的椭圆曲线和群定律（在此博客文章中介绍）
2. 有限域上的椭圆曲线和离散对数问题
3. 密钥对生成和两种 ECC 算法：ECDH 和 ECDSA
4. 破解ECC安全的算法，以及与RSA的比较

为了理解这里所写的内容，您需要了解集合论、几何和模算术的一些基本知识，并熟悉对称和非对称密码学。最后，您需要清楚什么是“简单”问题，什么是“困难”问题，以及它们在密码学中的作用。

准备好？开始吧！

椭圆曲线

首先：什么是椭圆曲线？Wolfram MathWorld 给出了一个极好的和完整的定义。但对于我们的目标，椭圆曲线将只是由方程描述的一组点：

在哪里 （这是排除奇异曲线所必需的）。上面的方程就是所谓的椭圆曲线的_Weierstrass 范式_。

不同椭圆曲线的不同形状（, 从 2 到 -3 不等）。

奇点的类型：在左侧，带有尖点的曲线 (）。在右侧，具有自相交的曲线 (）。它们都不是有效的椭圆曲线。

取决于价值 和 ，椭圆曲线可以在平面上呈现不同的形状。正如可以很容易地看到和验证的那样，椭圆曲线关于-轴。

为了我们的目标，我们还需要一个无穷远点（也称为理想点）作为曲线的一部分。从现在开始，我们将用符号 0（零）表示无穷远处的点。

如果我们想明确地考虑无穷远处的点，我们可以改进椭圆曲线的定义如下：

团体

数学中的群是一个集合，我们为它定义了一个二元运算，我们称之为“加法”并用符号 + 表示。为了集合 要成为一个组，必须定义加法以使其尊重以下四个属性：

1. **关闭：**如果 和 是成员 ， 然后 是会员 ;
2. 关联性： ;
3. 存在一个单位元素0 使得;
4. 每个元素都有一个逆，即：对于每个 那里存在 以至于 .

如果我们添加第五个要求：

5. 交换性： ,

那么这个群称为_阿贝尔群_。

用通常的加法概念，整数集 是一个群（而且，它是一个阿贝尔群）。自然数集 然而不是一个组，因为不能满足第四个属性。

组很好，因为如果我们能证明这四个属性成立，我们就可以免费获得其他一些属性。例如：标识元素是唯一的；也是逆是唯一的，那就是：每 只有一个 以至于 （我们可以写 作为 ）。无论是直接的还是间接的，这些和其他关于群体的事实对我们以后都非常重要。

椭圆曲线群定律

我们可以在椭圆曲线上定义一个组。具体来说：

• 群的元素是椭圆曲线的点；
• 的身份元素是在无限远0点;
• 点的倒数 是关于对称的 -轴;
• 加法由以下规则给出：给定三个对齐的非零点, 和 ，他们的总和是 .

三个对齐点之和为0。

注意最后一条规则，我们只需要三个对齐的点，三个点对齐是不分顺序的。这意味着，如果, 和 对齐，然后 . 这样，我们直观地证明了我们的 + 运算符既是结合的又是可交换的：我们在一个阿贝尔群中。

到目前为止，太棒了。但是我们如何实际计算两个任意点的总和呢？

几何加法

由于我们在一个阿贝尔群中，我们可以写 作为 . 这个方程，以这种形式，让我们推导出一种几何方法来计算两点之间的总和 和 :如果我们画一条穿过的线 和 ，这条线将与曲线上的第三个点相交， （这是由事实暗示的 , 和 对齐）。如果我们取这个点的倒数，，我们找到了结果 .

通过画线 和 . 该线与第三个点相交. 与它对称的点，, 是结果 .

这种几何方法有效，但需要一些改进。特别是，我们需要回答几个问题：

• 如果 或者 ? 当然，我们不能画任何线（0不在-飞机）。但是鉴于我们已经定义了 0 作为单位元素， 和 ，对于任何 并且对于任何 .

• 如果 ? 在这种情况下，通过这两个点的线是垂直的，并且不与任何第三个点相交。但是如果 是相反的 ，那么我们有 从逆的定义。

• 如果 ? 在这种情况下，有无限多条线通过该点。事情开始变得有点复杂。但是考虑一个点. 如果我们让 方法 ，越来越近了吗？

  

  当两点靠得更近时，穿过它们的线与曲线相切。

作为 趋向于 ，通过的线 和 与曲线相切。有鉴于此，我们可以说， 在哪里 是曲线与曲线的切线之间的交点 . *如果，但没有第三点 ? 我们遇到的情况与上一个非常相似。事实上，我们在线路经过的情况下 和 与曲线相切。

如果我们的线只与两个点相交，那么这意味着它与曲线相切。很容易看出求和的结果如何对称于两点之一。

让我们假设 是切点。在前一种情况下，我们会写. 这个等式现在变成. 另一方面，如果 是切点，正确的方程应该是 .

几何方法现已完成并涵盖所有情况。使用铅笔和尺子，我们可以对任何椭圆曲线的每个点进行加法运算。如果您想尝试，请查看我为计算椭圆曲线总和而构建的HTML5/JavaScript 可视化工具！

代数加法

如果我们想让计算机进行点加法，我们需要把几何方法变成代数方法。将上述规则转换为一组方程似乎很简单，但实际上它可能非常乏味，因为它需要求解三次方程。为此，我在这里只报告结果。

首先，让我们摆脱最烦人的角落案例。我们已经知道，我们也知道 . 所以，在我们的方程中，我们将避免这两种情况，我们将只考虑两个非零、非对称点 和 .

如果 和 是不同的（)，通过它们的线有斜率：

这条线与椭圆曲线的交点是第三个点：

或者，等效地：

因此 （注意标志并记住 ）。

如果我们想检查这个结果是否正确，我们必须检查是否 是否属于曲线 , 和 对齐。检查点是否对齐是微不足道的，检查 属于曲线不是，因为我们需要解决三次方程，这一点都不有趣。

相反，让我们看一个例子：根据我们的可视化工具，给定 和 在曲线上 ，他们的总和是 . 让我们看看我们的方程是否一致：

是的，这是正确的！

请注意，即使其中之一，这些方程也有效 或者 是一个切点。让我们试试 和 .

我们得到结果 ，这与视觉工具给出的结果相同。

案子 需要区别对待：方程 和 是一样的，但鉴于 ，我们必须使用不同的斜率方程：

请注意，正如我们所期望的，这个表达式为 是一阶导数：

为了证明这个结果的有效性，检查一下就足够了 属于曲线并且通过的线 和 与曲线只有两个交点。但同样，我们没有证明这个事实，而是用一个例子来尝试：.

这给了我们 . 正确！

虽然推导出它们的过程可能非常乏味，但我们的方程非常紧凑。这要归功于 Weierstrass 范式：没有它，这些方程可能真的很长很复杂！

标量乘法

除了加法，我们还可以定义另一个运算：标量乘法，即：

在哪里 是一个自然数。我也写了一个用于标量乘法的**可视化工具**，如果你想玩的话。

以这种形式编写，似乎计算 需要 补充。如果 已 二进制数字，那么我们的算法将是 ，这不是很好。但是存在更快的算法。

其中之一是双加算法。它的工作原理可以通过一个例子来更好地说明。拿. 它的二进制表示是. 这种二进制表示可以变成 2 的幂之和：

（我们已经取了每个二进制数字 并将其乘以 2 的幂。）

有鉴于此，我们可以这样写：

double 和 add 算法告诉我们要做的是：

• 拿 .
• 加倍，这样我们得到.
• 添加 到 （为了得到结果 ）。
• 双倍的 ，所以我们得到 .
• _将_其_添加_到我们的结果中（以便我们得到）。
• 双倍的 要得到 .
• 不要执行任何涉及的加法 .
• 双倍的 要得到 .
• _将_其_添加_到我们的结果中（以便我们得到）。
• …

最后，我们可以计算 仅执行七次加倍和四次加法。

如果这还不够清楚，这里有一个实现算法的 Python 脚本：

def bits(n):
    """
    Generates the binary digits of n, starting
    from the least significant bit.

    bits(151) -> 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1
    """
    while n:
        yield n & 1
        n >>= 1

def double_and_add(n, x):
    """
    Returns the result of n * x, computed using
    the double and add algorithm.
    """
    result = 0
    addend = x

    for bit in bits(n):
        if bit == 1:
            result += addend
        addend *= 2

    return result

如果加倍和相加都是 操作，那么这个算法是 （或者 如果我们考虑位长），这是相当不错的。肯定比最初的好很多 算法！

对数

给定的 和 ，我们现在至少有一个多项式时间算法来计算 . 但是反过来呢？如果我们知道怎么办 和 并且需要找出 ? 这个问题被称为对数问题。我们称它为“对数”而不是“除法”以符合其他密码系统（其中我们有幂运算而不是乘法）。

我不知道对数问题有什么“简单”的算法，但是玩乘法很容易看到一些模式。例如，取曲线 和重点 . 我们可以立即验证，如果 很奇怪， 在左半平面的曲线上；如果 甚至， 位于右半平面的曲线上。如果我们进行更多实验，我们可能会发现更多模式，最终可以引导我们编写算法来有效地计算该曲线上的对数。

但是对数问题有一个变体：_离散_对数问题。正如我们将在下一篇文章中看到的，如果我们减少椭圆曲线的域，标量乘法仍然是“容易”的，而离散对数就变成了一个“困难”的问题。这种对偶性是椭圆曲线密码学的关键。

下周见

今天的内容就到这里，希望你喜欢这篇文章！下周我们将发现有限域和**_离散_对数问题**，以及可以使用的示例和工具。如果这些东西对您来说很有趣，那么请继续关注！

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