无向图的割点和桥

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概念

对于\(x\epsilon V\)，从图中删去节点\(x\)以及所有与\(x\)关联的边后，\(G\)分裂成两个或两个以上不相连的子图，则称\(x\)为\(G\)的割点。

若对于\(e\epsilon E\)，从图中删去边\(e\)之后，\(G\)分裂成两个不相连的子图，则称\(e\)为\(G\)的桥或割边。

一般无向图（不一定联通）的“割点”和“桥”就是它的各个连通块的“割点”和“桥”。

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tarjan算法

以\(O(v+e)\)的时间复杂度求出无向图的割点和桥以及双连通分量。

割边判定法则

无向边\((x,y)\)是桥，当且仅当搜索树上存在\(x\)的一个子节点\(y\)，满足\(dfn[x]<low[y]\)。

割点判定法则

若\(x\)不是搜索树的根节点，则\(x\)是割点当且仅当搜索树上存在\(x\)的一个子节点\(y\)满足\(dfn[x]\le low[y]\)

若\(x\)是搜索树的根节点，则存在至少两个子节点\(y_1,y_2\)满足上述条件。

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一些题目

矿场搭建

通过手模一些样例可以发现，实际上就是求出割点后对于不同的连通块分类讨论。

记当前连通块内的点的个数为\(n\)。

• 如果这个连通块不与任何割点相连，那么这个连通块内需要两个出口

  首先可以钦定块内的任何一点作为出口，考虑该出口没了的情况，那么还需要另外一个点作为出口。

  这种情况下可以作为出口的点有\(C_n^2=\frac{n\times (n-1)}{2}\)种情况。

• 如果这个连通块与一个割点相连，那么这个连通块内需要单独的一个出口。

  如果这个割点没了，那么这个连通块内的点没有其他点与块外的点相连。

  这种情况下可以作为出口的点有\(n\)种情况。

• 如果这个连通块与两个及以上割点相连，那么这个连通块不需要出口

  如果其中一个割点没了，还可以通过其它的割点与块外的点相连。

  对答案没有贡献。

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[ZJOI2004]嗅探器

一个结论，如果存在这样一个点，那么这个点一定是割点，并且两个中心服务器位于与这个割点相连的不同两个连通块中。

没调过……

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无向图的双连通分量

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概念

若一张连通图不存在割点，则称它为“点双连通图”。

若一张连通图不存在割边，则称它为“边双连通图”。

点双连通分量（v-DCC）是指这张无向连通图中不存在包含它且比它更大的点双连通子图。

边双连通分量（e-DCC）是指这张无向连通图中不存在包含它且比它更大的边双连通子图。

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Tarjan算法

点双连通分量判定法则

• 图的顶点数量不超过\(2\)。
• 图中任意两点都同时包含在至少一个简单环中。

满足两个条件的其中一个即可。

边双连通分量判定法则

图中任意一条边都包含在至少一个简单环中。

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一些题目

Network

首先求出原图中所有的边双连通分量，然后对于所有的边双连通分量缩点，建出新的缩点图。

此时缩点图中所有的边就是原图所有的桥边。

后面所有的加边操作都在缩点图上进行。

如果这条边的两个端点在一个v-dcc里，那么这条边既不会增加桥边，又不会减少桥边，可以忽略。

这条边最多只会与v-dcc里的边形成简单环，然而v-dcc里面的边已经不是桥边了，故它自己不会成为桥边，也不会减少桥边。

如果这条边的两个端点在两个v-dcc里，那么缩点图上两个端点之间的边都不再是桥边。

这条边会与两个端点之间的边形成简单环，那么这些边就都不是桥边了。

此时，并不需要实际把这条边建出来。

考虑如果需要把这条边建出来的话，一定是这条边在之后可能形成桥边，或者是让之后加的边成为桥边。首先，这条边已经与两个端点之间的路径形成了一个简单环，它自己永远不可能成为桥边了。同理，之后添加的边也一定会与它两个端点之间的路径形成简单环，也不可能成为桥边。

将两个端点之间的路径看成这两个端点到\(lca\)的路径拼起来。也就是说，预先处理出\(lca\)，将\(x\)到\(lca\)路径上所有的桥边都改为非桥边，将\(y\)到\(lca\)路径上所有的桥边也都改为非桥边。

code

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Knights of the Round Table

咕咕咕

标签：连通,连通性,割点,无向,桥边,端点,两个,相关,分量
来源： https://www.cnblogs.com/Rapunzel/p/15394844.html