文章目录

• 1. 选频网络
• 2. LC串联谐振回路
• 3. LC并联谐振回路
• 4. 阻抗变换与阻抗匹配
• • 4.1. 抽头并联振荡回路
  • 4.2. 信号源的等效折合

1. 选频网络

• 选出需要的频率分量并滤除不需要的分量
• 包括谐振回路和滤波器
  • 谐振回路：由电容和电感组成
    • 耦合振荡回路
    • 串联/并联振荡回路
  • 滤波器：石英晶体的，陶瓷的，声表面波的等

2. LC串联谐振回路

• 回路阻抗
  Z s = ∣ Z s ∣ e j φ = r + j X = r + j ω L + 1 j ω C = r + j ( ω L − 1 ω C ) \begin{aligned}Z_s&=|Z_s|e^{j\varphi}=r+jX\\ &=r+j\omega L+\dfrac{1}{j\omega C}=r+j(\omega L-\dfrac{1}{\omega C})\end{aligned} Zs​​=∣Zs​∣ejφ=r+jX=r+jωL+jωC1​=r+j(ωL−ωC1​)​
  { ∣ Z s ∣ = r 2 + ( ω L − 1 ω C ) 2 φ = arctan ⁡ ω L − 1 ω C r \begin{cases}|Z_s|=\sqrt{r^2+(\omega L-\dfrac{1}{\omega C})^2}\\\varphi=\arctan \dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{r}\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​∣Zs​∣=r2+(ωL−ωC1​)2 ​φ=arctanrωL−ωC1​​​
  X = ω L − 1 ω C X=\omega L-\dfrac{1}{\omega C} X=ωL−ωC1​

• 谐振频率：阻抗最小时的频率
  ω 0 L − 1 ω 0 C = 0 ⇒ ω 0 = 1 L C \omega_0 L-\dfrac{1}{\omega_0 C}=0\rArr\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} ω0​L−ω0​C1​=0⇒ω0​=LC ​1​
  Z s = r Z_s=r Zs​=r

  • 特性阻抗
    回路谐振时的感抗或容抗 ρ = ω 0 L = 1 ω 0 C = L C \rho=\omega_0 L=\dfrac{1}{\omega_0 C}=\sqrt{\dfrac{L}{C}} ρ=ω0​L=ω0​C1​=CL​ ​称为特性阻抗

  • 电压分析
    若在串联振荡回路两端加一恒压信号 U U U, 则发生串联谐振时因阻抗最小, 流过电路的电流最大, 其值为 I 0 = U r I_0=\dfrac{U}{r} I0​=rU​

    • 电感上的电压
      U ⋅ L = j ω 0 L I 0 = j U ω 0 L r \overset{\cdot}U_L=j\omega_0LI_0=jU\dfrac{\omega_0L}{r} U⋅L​=jω0​LI0​=jUrω0​L​
    • 电容上的电压
      U ⋅ C = I 0 1 j ω 0 C = − j U 1 ω 0 C r \overset{\cdot}U_C=I_0\dfrac{1}{j\omega_0C}=-jU\dfrac{1}{\omega_0Cr} U⋅C​=I0​jω0​C1​=−jUω0​Cr1​

    在谐振时，电容和电感上的电压将会远大于外加电压，在选电容和电感器件的耐压值要特别注意。因此，串联谐振回路也称为电压谐振回路

• 品质因数
  Q = ω 0 L r = 1 ω 0 C r Q=\dfrac{\omega_0L}{r}=\dfrac{1}{\omega_0Cr} Q=rω0​L​=ω0​Cr1​
  LC串联谐振回路为了有更好的的选频特性，品质因素都是远大于1
  U ⋅ L = j ω 0 L I 0 = j U ω 0 L r = j Q U \overset{\cdot}U_L=j\omega_0LI_0=jU\dfrac{\omega_0L}{r}=jQU U⋅L​=jω0​LI0​=jUrω0​L​=jQU
  U ⋅ C = I 0 1 j ω 0 C = − j U 1 ω 0 C r = − j Q U \overset{\cdot}U_C=I_0\dfrac{1}{j\omega_0C}=-jU\dfrac{1}{\omega_0Cr}=-jQU U⋅C​=I0​jω0​C1​=−jUω0​Cr1​=−jQU
  在任意频率下的回路电流 I I I与谐振电流 I 0 I_0 I0​之比
  I ⋅ I ⋅ 0 = U ⋅ Z s U ⋅ r = r Z s = 1 1 + j ω L − 1 ω C r = 1 1 + j ω 0 L r ( ω ω 0 − ω 0 ω ) = 1 1 + j Q ( ω ω 0 − ω 0 ω ) \dfrac{\overset{\cdot}I}{\overset{\cdot}I_0}=\dfrac{\dfrac{\overset{\cdot}U}{Z_s}}{\dfrac{\overset{\cdot}U}{r}}=\dfrac{r}{Z_s}=\dfrac{1}{1+j\dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{r}}=\dfrac{1}{1+j\dfrac{\omega_0L}{r}(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega})}=\dfrac{1}{1+jQ(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega})} I⋅0​I⋅​=rU⋅​Zs​U⋅​​=Zs​r​=1+jrωL−ωC1​​1​=1+jrω0​L​(ω0​ω​−ωω0​​)1​=1+jQ(ω0​ω​−ωω0​​)1​

  I I 0 = 1 1 + Q 2 ( ω ω 0 − ω 0 ω ) 2 \dfrac{I}{I_0}=\sqrt{\dfrac{1}{1+Q^2(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega})^2}} I0​I​=1+Q2(ω0​ω​−ωω0​​)21​ ​
  

• 广义失谐系数——表征了一个谐振回路偏离谐振频率的程度
  ξ = Q ( ω ω 0 − ω 0 ω ) \xi=Q(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega}) ξ=Q(ω0​ω​−ωω0​​)
  I I 0 = 1 1 + ξ 2 \dfrac{I}{I_0}= \dfrac{1}{\sqrt{1+\xi^2}} I0​I​=1+ξ2 ​1​
  ω ω 0 − ω 0 ω = ( ω + ω 0 ) ( ω − ω 0 ) ω ω 0 ≈ 2 ω Δ ω ω ω 0 = 2 Δ ω ω 0 \dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega}=\dfrac{(\omega+\omega_0)(\omega-\omega_0)}{\omega\omega_0}\approx\dfrac{2\omega\Delta \omega}{\omega\omega_0}=\dfrac{2\Delta \omega}{\omega_0} ω0​ω​−ωω0​​=ωω0​(ω+ω0​)(ω−ω0​)​≈ωω0​2ωΔω​=ω0​2Δω​
  ξ ≈ 2 Q Δ ω ω 0 \xi\approx 2Q\dfrac{\Delta \omega}{\omega_0} ξ≈2Qω0​Δω​

• 通频带(回路带宽)
  当保持外加信号的幅值不变而改变其频率时, 将回路电流值下降为谐振值的 1 2 ≈ 0.707 \dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx0.707 2 ​1​≈0.707时对应的频率范围称为回路的通频带，用 B B B来表示。即 ξ = ± 1 ξ=±1 ξ=±1对应的频宽 B = f 0 Q = 2 Δ f 0.7 B=\dfrac{f_0}{Q}=2\Delta f_{0.7} B=Qf0​​=2Δf0.7​

• 信号源内阻与负载电阻对串联谐振回路的影响
  通常把不考虑信号源内阻和负载电阻时回路自身的 Q Q Q值叫无载(空载) Q Q Q值。把考虑信号源内阻 R S R_S RS​和负载电阻 R L R_L RL​影响时的 Q Q Q值叫有载 Q L Q_L QL​值。 Q L = ω 0 L r + R S + R L Q_L=\dfrac{ω_0L}{r+R_S+R_L} QL​=r+RS​+RL​ω0​L​
  串联谐振回路适用于信号源内阻与负载电阻较小的电路( Q L Q_L QL​要尽可能大以保证更好的选频特性)

3. LC并联谐振回路

• 回路阻抗
  Z p = ( r + j ω L ) 1 j ω C r + j ω L + 1 j ω C = r ω 2 C 2 − j ( C r 2 + ω 2 L 2 C − L ω C 2 ) r 2 + ( ω L − 1 ω C ) 2 Z_p=\dfrac{(r+j\omega L)\dfrac{1}{j\omega C}}{r+j\omega L+\dfrac{1}{j\omega C}}=\dfrac{\dfrac{r}{\omega^2C^2}-j(\dfrac{Cr^2+\omega^2L^2C-L}{\omega C^2})}{r^2+(\omega L-\dfrac{1}{\omega C})^2} Zp​=r+jωL+jωC1​(r+jωL)jωC1​​=r2+(ωL−ωC1​)2ω2C2r​−j(ωC2Cr2+ω2L2C−L​)​
• 谐振频率——使 Z p Z_p Zp​的虚部为0的频率
  C r 2 + ω 2 L 2 C − L = 0 ⇒ ω = ω p = 1 − C r 2 L L C ≈ 1 L C Cr^2+\omega^2L^2C-L=0\rArr \omega=\omega_p=\dfrac{\sqrt{1-\dfrac{Cr^2}{L}}}{\sqrt{LC}}\approx \dfrac{1}{\sqrt{LC}} Cr2+ω2L2C−L=0⇒ω=ωp​=LC ​1−LCr2​ ​​≈LC ​1​
  • 谐振电阻
    谐振时回路的阻抗最大，且为纯阻性，称为谐振电阻
    R p = L r C R_p=\dfrac{L}{rC} Rp​=rCL​
    当 ω = ω p ω= ω_p ω=ωp​时，回路为纯电阻；
    当 ω > ω p ω>ω_p ω>ωp​时，感抗大于容抗，电容支路电流大，回路呈容性；
    当 ω < ω p ω<ω_p ω<ωp​时，容抗大于感抗，电感支路电流大，回路呈感性
  • 电流分析
    若在并联振荡回路两端加一恒流信号 I S I_S IS​, 则发生并联谐振时因阻抗最小, 加在电路两端的电压最小, 其值为 U 0 = I S R p U_0=I_SR_p U0​=IS​Rp​
    • 电容上的电流
      I ⋅ C = j ω p C U 0 = j ω p R p C I S \overset{\cdot}I_C=j\omega_p CU_0=j\omega_pR_pCI_S I⋅C​=jωp​CU0​=jωp​Rp​CIS​
    • 电感上的电流
      I ⋅ L = U 0 j w p L = − j R p ω p L I S \overset{\cdot}I_L=\dfrac{U_0}{jw_pL}=-j\dfrac{R_p}{\omega_p L}I_S I⋅L​=jwp​LU0​​=−jωp​LRp​​IS​
• 品质因数
  Q p = ω p L r = 1 ω p C r = R p ω p L = ω p R p C Q_p=\dfrac{\omega_p L}{r}=\dfrac{1}{\omega_p Cr}=\dfrac{R_p}{\omega_p L}=\omega_pR_pC Qp​=rωp​L​=ωp​Cr1​=ωp​LRp​​=ωp​Rp​C
  I ⋅ C = j ω p R p C I S = j Q p I S \overset{\cdot}I_C=j\omega_pR_pCI_S=jQ_pI_S I⋅C​=jωp​Rp​CIS​=jQp​IS​
  I ⋅ L = − j R p ω p L I S = − j Q p I S \overset{\cdot}I_L=-j\dfrac{R_p}{\omega_p L}I_S=-jQ_pI_S I⋅L​=−jωp​LRp​​IS​=−jQp​IS​
  并联谐振又称为电流谐振
• 广义失谐系数
  ξ = Q p ( ω ω p − ω p ω ) ≈ Q p 2 Δ ω ω p \xi=Q_p(\dfrac{\omega}{\omega_p}-\dfrac{\omega_p}{\omega})\approx Q_p\dfrac{2\Delta\omega}{\omega_p} ξ=Qp​(ωp​ω​−ωωp​​)≈Qp​ωp​2Δω​
• 通频带
  Z p = L / C r 1 + j Q p ( ω ω p − ω p ω ) = R p 1 + j ξ Z_p=\dfrac{L/Cr}{1+jQ_p(\dfrac{\omega}{\omega_p}-\dfrac{\omega_p}{\omega})}=\dfrac{R_p}{1+j\xi} Zp​=1+jQp​(ωp​ω​−ωωp​​)L/Cr​=1+jξRp​​
  ∣ Z p ∣ = R p 1 + ξ 2 |Z_p|=\dfrac{R_p}{\sqrt{1+\xi^2}} ∣Zp​∣=1+ξ2 ​Rp​​
  { ∣ Z p ∣ R p = 1 1 + ξ 2 φ z = − arctan ⁡ ξ \begin{cases}\dfrac{|Z_p|}{R_p}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\xi^2}}\\\varphi_z=-\arctan \xi\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​Rp​∣Zp​∣​=1+ξ2 ​1​φz​=−arctanξ​
  B = f 0 Q p = 2 Δ f 0.7 B=\dfrac{f_0}{Q_p}=2\Delta f_{0.7} B=Qp​f0​​=2Δf0.7​
  
• 信号源内阻和负载电阻对并联谐振回路的影响
  
  有载品质因数 Q L = 1 ω p L ( G p + G s + G L ) = Q p 1 + R p R s + R p R L Q_L=\dfrac{1}{\omega_pL(G_p+G_s+G_L)}=\dfrac{Q_p}{1+\dfrac{R_p}{R_s}+\dfrac{R_p}{R_L}} QL​=ωp​L(Gp​+Gs​+GL​)1​=1+Rs​Rp​​+RL​Rp​​Qp​​
  当信号源内阻和负载电阻较大时，并联振荡回路的有载品质因数接近空载品质因数

4. 阻抗变换与阻抗匹配

4.1. 抽头并联振荡回路

• 作用：实现阻抗匹配或阻抗变换
• 并联LC回路作为负载的，且在谐振频率附近(带宽内)，可以通过部分接入来进行阻抗变换，被变换对象(电阻)变换前后所消耗的功率相等。即为在一定条件下的等效变换。
• 接入系数（或抽头系数） p p p
  外电路相联的那部分电抗与本回路参与分压的同性质总电抗之比。也可用电压比来表示。
  p = U U T , p=\dfrac{U}{U_T}, p=UT​U​,其中 U U U是部分电抗两端电压， U T U_T UT​是总电抗两端的电压
  
• 举例

  • 一般情况
    

  • 在谐振和高Q值时

  • 在回路失谐不大时

4.2. 信号源的等效折合

标签：LC,dfrac,电子线路,回路,C1,omega,谐振
来源： https://blog.csdn.net/weixin_45725295/article/details/120682466