矩阵论 - 4 - LU分解
作者:互联网
LU分解
乘积的逆
乘积\(AB\)的逆为\(B^{-1}A^{-1}\)
\((AB) \cdot (B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1}=I\)
乘积的转置
乘积\(AB\)的转置为\(B^TA^T\)。对于任何可逆的矩阵,有\(A^T\)的逆为\((A^{-1})^T\),即$(AT){-1} =(A{-1})T $。(逆和转置的运算可以交换顺序)
\[\begin{aligned}(A \cdot A^{-1})^{T} & = I^{T}\\(A^{-1})^{T} \cdot A^{T} & = I\\\textrm{则} A^{T} \textrm{的逆矩阵为} & (A^{-1})^{T}\end{aligned} \]LU分解
LU分解:将矩阵\(A\)分解成2个矩阵(\(L\) 和 \(U\))的乘积。
where ‘LU’ stands for ‘lower upper’
\(L\) - 下三角阵,\(U\) - 上三角阵(下三角阵下三角不全为0,上三角反之)。
经过一系列初等变换, \(A\) → \(E_{21}A\) → \(E_{31}E_{21}A\) → ··· → \(U\),在2D下就是下面的样子:
\(\begin{aligned}E_{21}A = U \\\ \begin{bmatrix}1&0\\-4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\8&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\0&3\end{bmatrix}\end{aligned}\)
将上面式子化为\(A=LU\)形式:
\(\begin{aligned}E_{21}A = U \\ E_{21}^{-1}E_{21}A = E_{21}^{-1} U\\A=E_{21}^{-1}U \end{aligned}\)
即:
\(\begin{aligned}A = LU \\\ \begin{bmatrix}2&1\\8&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\0&3\end{bmatrix}\end{aligned}\)
计算代价
- 将\(a_{11}\)作为主元,需要的运算量约为\(n^2\)。
-
以此类推,接下来每一步计算量约为\((n-1)^2、(n-2)^2、\cdots、2^2、1^2\)。
-
将 \(A\) 变换为 \(LU\) 的总运算量应为\(O(n^2+(n-1)^2+\cdots+2^2+1^2)\),即\(O(\frac{n^3}{3})\)。
行交换-置换矩阵
置换矩阵(Permutation Matrix),\(n\)阶方阵的置换矩阵有\(\binom{n}{1}=n!\)个,3阶方阵的置换矩阵有6个:
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \]为了交换两行,我们在左边乘以一个置换矩阵。
例如右乘 $$P_{12} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{bmatrix}$$以交换3 × 3矩阵的第一和第二行。
有一个比较重要的性质是:任何置换矩阵的逆等于它的转置,即\(P^{-1} = P^T\)。
A matrix \(A\) is symmetric if \(AT=A\). Given any matrix \(R\) (not necessarily square) the product \(R^TR\) is always symmetric, because \((R^TR)T=R^T(R^T)^T=R^TR\).
reference
[1] textbook
[2] mit18.06学习笔记
标签:begin,end,21,矩阵,cdots,LU,bmatrix,分解 来源: https://www.cnblogs.com/cxl-/p/15377263.html