机器学习中的数学——概率论基础知识

概率论是用于表示不确定性声明的数学框架。它不仅提供了量化不确定性的方法，也提供了用于导岀新的不确定性声明的公理。在人工智能领域，概率论主要有两种用途。首先，概率法则告诉我们AI系统如何推理，据此我们设计些算法来计算或者估算由概率论导出的表达式。其次，我们可以用概率和统计从理论上分析我们提出的AI系统的行为。

计算机科学的许多分支处理的实体大部分都是完全确定且必然的。程序员通常可以安全地假定CPU将完美地执行每条机器指令。虽然硬件错误确实会发生，但它们足够罕见，以致于大部分软件应用在设计时并不需要考虑这些因素的影响。鉴于许多计算机科学家和软件工程师在一个相对干净和确定的环境中工作，机器学习对于概率论的大量使用是很令人吃惊的。

这是因为机器学习通常必须处理不确定量，有时也可能需要处理随机（非确定性的）量。不确定性和随机性可能来自多个方面。至少从20世纪80年代开始，研究人员就对使用概率论来量化不确定性提岀了令人信服的论据。

几乎所有的活动都需要一些在不确定性存在的情况下进行推理的能力。事实上，除了那些被定义为真的数学声明，我们很难认定某个命题是千真万确的或者确保某件事一定会发生。

不确定性有三种可能的来源：

1. 被建模系统内在的随机性。例如，大多数量子力学的解释，都将亚原子粒子的动力学描述为概率的。我们还可以创建一些我们假设具有随机动态的理论情境，例如一个假想的纸牌游戏，在这个游戏中我们假设纸牌被真正混洗成了随机顺序。
2. 不完全观测。即使是确定的系统，当我们不能观测到所有驱动系统行为的变量时，该系统也会呈现随机性。例如，在Monty Hall问题中，一个游戏节目的参与者被要求在三个门之间选择，并且会赢得放置在选中门后的奖品。其中两扇门通向山羊，第三扇门通向一辆汽车。选手的每个选择所导致的结果是确定的但是站在选手的角度，结果是不确定的。
3. 不完全建模。当我们使用一些必须舍弃某些观测信息的模型时，舍弃的信息会导致模型的预测出现不确定性。例如，假设我们制作了一个机器人，它可以准确地观察周围每一个对象的位置。在对这些对象将来的位置进行预测时，如果机器人采用的是离散化的空间，那么离散化的方法将使得机器人无法确定对象们的精确位置：因为每个对象都可能处于它被观测到的离散单元的任何一个角落。

尽管我们的确需要一种用以对不确定性进行表示和推理的方法，但是概率论并不能明显地提供我们在人工智能领域需要的所有工具。概率论最初的发展是为了分析事件发生的频率。我们可以很容易地看岀概率论，对于像在扑克牌游戏中抽出手特定的牌这种事件的研究中，是如何使用的。这类事件往往是可以重复的。当我们说一个结果发生的概率为 p p p，这意味着如果我们反复实验无限次，有 p p p的比例可能会导致这样的结果。这种推理似乎并不立即适用于那些不可重复的命题。如果一个医生诊断了病人，并说该病人患流感的几率为40%，这意味着非常不同的事情—一我们既不能让病人有无穷多的副本，也没有任何理由去相信病人的不同副本在具有不同的潜在条件下表现出相同的症状。在医生诊断病人的例子中，我们用概率来表示一种信任度，其中1表示非常肯定病人患有流感，而0表示非常肯定病人没有流感。前面那种概率，直接与事件发生的频率相联系，被称为频率派概率；而后者，涉及到确定性水平，被称为贝叶斯概率。

关于不确定性的常识推理，如果我们已经列出了若干条我们期望它具有的性质，那么满足这些性质的唯一一种方法就是将贝叶斯概率和频率派概率视为等同的。例如，如果我们要在扑克牌游戏中根据玩家手上的牌计算她能够获胜的概率，我们使用和医生情境完全相同的公式，就是我们依据病人的某些症状计算她是否患病的概率。为什么一小组常识性假设蕴含了必须是相同的公理控制两种概率？概率可以被看作是用于处理不确定性的逻辑扩展。逻辑提供了一套形式化的规则，可以在给定某些命题是真或假的假设下，判断另外一些命题是真的还是假的。概率论提供了一套形式化的规则，可以在给定一些命题的似然后，计算其他命题为真的似然。

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