《<遇到困难睡大觉>命题报告》学习笔记

简要题意

给定 \(n,k,\{(a_i,b_i)\}_{i=1}^n\)，求出 \(\max\{\min_{i=1}^n\{a_{p_i}+ik\}-\max_{i=1}^n\{b_{p_i}+ik\}|p\in \mathfrak{S}_n\}\)。\(1\leq a_i,b_i\leq 10^9,kn\leq 10^9,1\leq n\leq 10^5\)。

题解

答案等价于 \(\max\{\min_{i=1}^n\{a_i+q_ik\}-\max_{i=1}^n\{b_i+q_ik\}|q\in \mathfrak{S}_n\}\)。进一步地，可以发现答案只与排列中的相对位置有关，于是 \(q\) 可以取数轴上的任意一段连续的 \(n\) 个整点（不妨设为 \([t,t+n-1]\cap\mathbb{Z}\)）而不影响答案。

考虑枚举 \(M=\max\{b_i+q_ik\}\)，可以得到 \(q_i\) 的上界：\(\forall i,q_i\leq r_i=\left\lfloor\frac{M-b_i}{k}\right\rfloor\)。根据贪心策略，此时选择最大的有解的 \(t\) 一定最优。由 Hall 定理，此时 \(t=\min_{i=1}^n\{r_i-i+1\}\)。同时，注意到当 \(M\) 增加 \(k\) 时，\(r_i\) 和 \(t\) 都会增加 \(1\)，于是可以只在 \([0,k-1]\) 的范围内枚举 \(M\)。

二分答案 \(mid\)，枚举 \(M\in[0,k-1]\)，可以得到 \(q_i\) 的上下界：\(\forall i,l_i=\max\{\left\lceil\frac{M+mid-a_i}{k}\right\rceil,t\}\leq q_i\leq r_i=\min\{\left\lfloor\frac{M-b_i}{k}\right\rfloor,t\}\)。由 Hall 定理，此时有解当且仅当不存在一个区间 \([l,r](l\leq r)\)，使得 \(s(l,r)>r-l+1\)，其中 \(s(l,r)\) 表示被 \([l,r]\) 包含的 \([l_i,r_i]\) 区间个数。

注意到 \(t\) 在 \(M\) 从 \(0\) 到 \(k-1\) 枚举的过程中只会增加 \(1\)（或不变），不妨设为从 \(t'\) 变为 \(t'+1\)，变化的时间为 \(tt\)（若不变，则为 \(\infty\)）。接下来，只需要分别对 \(M\in[0,tt-1],t=t'\) 与 \(M\in[tt,k-1],t=t'+1\) 分别判断即可。

考虑对 \(M\in[L,R]\) 和确定的 \(t\) 进行判断。注意到 \(R-L+1<=k\)，于是 \(l_i,r_i\) 在 \(M\) 从 \(L\) 到 \(R\) 枚举的过程中只会增加 \(1\)（或不变），不妨分别设为从 \(l_i',r_i'\) 变为 \(l_i'+1,r_i'+1\)，变化的时间为 \(tl_i,tr_i\)（若不变，则为 \(\infty\)）。

对 \(r_i\) 进行排序。记 \(q(i,j)=r_j-l_i+1-s(l_i,r_j)\)，那么有解当且仅当不存在 \(i<j\) 使得 \(q(i,j)<0\)。注意到 \(l_i\) 之间、\(r_i\) 之间的相对顺序不会改变，于是 \(s(l_i,r_j)\) 不会改变。那么只需要对 \(q'(i,j)=r_j'-l_i'+1-s(l_i,r_j)\) 进行分类讨论：

• 当 \(q'(i,j)<-1\) 时，恒非法；
• 当 \(q'(i,j)=-1\) 时，当且仅当 \(tr_j\leq M<tl_i\) 时合法；
• 当 \(q'(i,j)=0\) 时，当且仅当 \(tl_i\leq M<tr_j\) 时非法；
• 当 \(q'(i,j)>0\) 时，恒合法。

注意到固定 \(j\) 时，同种限制取最小的 \(tl_i\) 一定最紧。于是可以从小到大枚举 \(r_j'\)，用线段树维护 \(q'(i,j)\) 的最小值和次小值以及此时分别对应的最小的 \(tl_i\)（这样当不存在 \(q'(i,j)<-1\) 的情况时能得到所有限制）。

最终会得到 \(O(n)\) 个限制，对于 \(q'(i,j)=-1\) 得到的限制可以轻松求出它们的交，然后将 \(q'(i,j)=0\) 得到的限制排序后和前面求得的交进行对称差判断即可。

时间复杂度 \(O(n\log n\log A)\)，其中 \(A\) 是答案的值域大小（此题中为 \(2\times10^9\)）。

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来源： https://www.cnblogs.com/Y25t/p/15344543.html