堆

堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。

堆总是满足下列性质：

• 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。

将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

举例(小根堆)

每个父节点的值都小于其左右节点

存储：

x的左节点下标：2x
x的右节点下标：2x+1

两个方法：

• down：修改某节点数据后向下更新(当新数据的值大于原数据的值)
• up：修改某节点的数据后向上更新(当新数据的值小于原数据的值)

模板题

堆排序
输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

输入格式
第一行包含整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式
共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围
1≤m≤n≤105，
1≤数列中元素≤109
输入样例：

5 3
4 5 1 3 2

输出样例：

1 2 3

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], cnt;

void down(int u)
{
    int t = u;//假设当前节点为最小节点
    if (u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;//如果左节点比当前节点小
    if (u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;//如果右节点比当前节点小
    if (u != t)
    {
        swap(h[u], h[t]);//交换节点值
        down(t);//因为节点进行交换，有可能破坏了之前的状态，需要继续向下down来达到相关要求
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &h[i]);
    cnt = n;

    for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);//快速构建堆结构，从下到上依次构建，从2分之n开始构建的原因是最后一层节点本身就满足堆的要求，无需进行处理

    while (m -- )
    {
        printf("%d ", h[1]);
        h[1] = h[cnt -- ];
        down(1);
    }

    puts("");

    return 0;
}

简单实战

模拟堆
维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：

I x，插入一个数 x；
PM，输出当前集合中的最小值；
DM，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
D k，删除第 k 个插入的数；
C k x，修改第 k 个插入的数，将其变为 x；
现在要进行 N 次操作，对于所有第 2 个操作，输出当前集合的最小值。

输入格式
第一行包含整数 N。

接下来 N 行，每行包含一个操作指令，操作指令为 I x，PM，DM，D k 或 C k x 中的一种。

输出格式
对于每个输出指令 PM，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。

每个结果占一行。

数据范围
1≤N≤105
−109≤x≤109
数据保证合法。

输入样例：

8
I -10
PM
I -10
D 1
C 2 8
I 6
PM
DM

输出样例：

-10
6

分析：

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int h[N], ph[N], hp[N], cnt;//h为堆，ph[k]表示第k个插入点的下标,hp为ph的逆运算即ph[j]=k,hp[k]=j

void heap_swap(int a, int b)//交换堆相关节点
{
    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u)
{
    int t = u;
    if (u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)
    {
        heap_swap(u, t);
        down(t);
    }
}

void up(int u)
{//当前节点修改后如果小于原节点需要向上更新节点
    while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
    {
        heap_swap(u, u / 2);
        u >>= 1;
    }
}

int main()
{
    int n, m = 0;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        char op[5];
        int k,x;
        scanf("%s", op);
        if (!strcmp(op, "I"))
        {
            scanf("%d", &x);
            cnt ++ ;
            m ++ ;
            ph[m] = cnt, hp[cnt] = m;//第m个插入的节点下标为cnt，下标为cnt的节点第m个插入
            h[cnt] = x;//存储堆
            up(cnt);
        }
        else if (!strcmp(op, "PM")) printf("%d\n", h[1]);//输出堆顶元素
        else if (!strcmp(op, "DM"))
        {
            heap_swap(1, cnt);//删除堆顶元素，用最后一个值来覆盖
            cnt -- ;
            down(1);
        }
        else if (!strcmp(op, "D"))
        {
            scanf("%d", &k);
            k = ph[k];
            heap_swap(k, cnt);
            cnt -- ;
            up(k);//这里up和down即up和down只会执行其中一个，我们省去了判断条件
            down(k);
        }
        else
        {
            scanf("%d%d", &k, &x);
            k = ph[k];
            h[k] = x;
            up(k);
            down(k);
        }
    }

    return 0;
}

标签：cnt,之堆,int,down,swap,ph,数据结构,节点
来源： https://blog.csdn.net/m0_46213598/article/details/120463874