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高级弥散模型:单指数、IVIM、DKI、SEM、FROC、CTRW

作者:互联网

1 单指数模型:

SI=SI_{0}.e^{(-b.ADC)}

SI_{0}是T2加权的信号强度(或者是b=0sec/mm2),b代表弥散敏感因子,D代表弥散系数,其中b大小又等于

b= \gamma ^{2}G^{2}T^{2}(T-\frac{t}{3}))

单指数模型的参数图为:ADC

2 双指数模型IVIM

 S_{b}=S_{0}(1-f)e^{(-bD)}+S_{0}fe^{(-b(D+D*)}

其中 

b= \gamma ^{2}G^{2}T^{2}(T-\frac{t}{3}))

 f表示由于微循环导致的弥散系数改变占总的弥散系数的分数,所以在该公式中,单纯弥散系数的改变所占的比例为 (1-f),由微循环灌注引起来的总的弥散系数的改变为f。双指数模型所得到的参数图为:D、D*、f。

3 弥散峰度模型DKI

S_{b}=S_{0}e^{(-bD+b^{2}D^{2}K/6)}

考虑到组织内结构的复杂性,组织内水分的扩散运动概率不在符合高斯分布,而是一种非高斯分布,因而引进了峰度参数K进行校正;其与单指数模型的关系,当K=0的时候,即为高斯分布,因此K值反映了组织内部水分子弥散运动的复杂程度。 DKI模型的参数图:D图、K图。

4 拉伸指数模型 SEM

S_{b}=S_{0}e^{(-bDDC)^{\alpha }}

拉伸指数模型假设体素内弥散系数是连续分布的,并不是简单的几种成分。这个公式中,α(阿尔法)代表组织的复杂程度,这个量化指标叫体素内弥散成分不均质性。α=1的时候,类似于理想情况下的单指数模型;而α越接近0,则代表弥散不均质性越高,反映了组织结构越复杂。公式中另一个量化指标DDC,表示分布弥散系数,代表体素内平均弥散率。 拉伸指数参数图:DDC、α(阿尔法)。

5 分数微积分模型FROC

        分数微积分模型模型(Fractional  order calculus,FROC 模型)  由周晓洪教授于 2010 年提出。该模型利用分数微积分(Fractional order calculus)理论对人体组织内异常弥散运动做了详尽的分析,并引入了一组可以描述水分子异常弥散运动的参数。由于 FROC 模型及其应用是整个课题的核心部分,所以下面将概述其数学推导过程及各参数的意义。

         如果令 C(x,t)为一维坐标轴上的弥散密度,则可将所得的分数阶偏微分方程代入经典的 Fick’s 第一定律中(公式 1)。

\frac{\partial^\alpha C(x,t) }{\partial t^\alpha }=D'\frac{\partial^\(2\beta ) C(x,t) }{\partial |x|^2\beta }                                                                              (1)

其中 D’为总弥散系数,其单位为mm^{2\beta }/s^{\alpha }  ,α(0<α≤1)为时间的分数导数,β (0<β ≤1)为空间的分数导数。由此,Bloch-Torrey  方程可通过分数阶转化为:

\tau ^{\alpha -1} ._{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha }_{t}M_{xy}(r,t)=\lambda M_{xy}(r,t)+D\mu^{2(\beta -1)}\Delta ^{2\beta }M_{xy}(r,t)            公式 (2)

\lambda =-i.\gamma (r.G)                                                                                    公式(3)

其中,_{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha }_{t}是时间的 Riemann-Liouville 分数导数的 Caputo 符号形式(公式 4),\Delta ^{2\beta }=(\Delta _{x}^{2\beta }+\Delta _{y}^{2\beta }+\Delta _{z}^{2\beta }) 是空间的 Riesz 分数导数的 Laplacian 算符,γ 是旋磁比,M_{xy}
表示了横向磁化作用,\tau ^{\alpha -1}\mu ^{2(\beta -1)}是时间和空间的分数导数常量。分数导数符号_{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha }_{t}可以进一步表示为:

 _{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha }_{t}M_{xy}(r,t)\equiv \frac{1}{\Gamma (1-\alpha )}\int_{0}^{t}\frac{M'_{xy}(r,\tau )}{(t-\tau )^{\alpha }}                                           公式(4)

其中, M'_{xy}(r,\tau )表示了时间的一阶导数,Γ(1 − α)为伽玛函数,定义为:

\Gamma (x)=\int_{0}^{\propto }e^{-u}u^{x-1}du                                                                      

空间的动态分数阶(如 α=1,0<β ≤1)可通过将横向磁化向量推导为常量、双极、
Stejskal-Tanner 和二次再聚焦的弥散梯度获得。Stejskal-Tanner 弥散梯度可由公式 5
得出: 

M_{xy} = M_{0}e^{[-D\mu ^{2(\beta -1)}(\gamma G_{d}\delta )^{2\beta }(\Delta - \frac{2\beta -1}{2\beta +1}\delta )]}                                公式(5)

其中,Gd为弥散梯度振幅,δ和Δ为弥散梯度脉冲宽度和梯度分隔。当β = 1时,公式 5 即为经典的单指数函数形式exp⁡(−bD),空间变量μ即为无效变量。在常规状态下β < 1,μ即为有效变量,而 b 值的常规定义失效。为适应这些变化,重新定义了新参数b*如下:

b* \equiv (\gamma G_{d}\delta )^{2 }(\Delta - \frac{2\beta -1}{2\beta +1}\delta )]

由此,公式 5 转化为 
M_{xy} = M_{0}e^{[-D\mu ^{2(\beta -1)}(b*)^{\beta }(\Delta - \frac{2\beta -1}{2\beta +1}\delta )^{1-\beta }]}                                      公式(7)

另于如果定义假弥散系数D*为

D* = [D^{\frac{1}{\beta }}\mu ^{2(\1-\frac{1}{\beta })}(\Delta - \frac{2\beta -1}{2\beta +1}\delta )^{\frac{1}{\beta }-1}]                                公式(8)

则公式 7 可转化为拉伸指数模型公式表达形式,见公式 9: 
M_{xy} = M_{0}e^{[-(D*\times b*)^{\beta }]}                                                      公式(9)

其中D∗的单位仍为常规弥散系数单位mm^{2}/s,类似于 Bennett 等描述的弥散系数分布常量。而当从上述方程导出 \mu ^{2} = D (\Delta - \frac{2\beta -1}{2\beta +1}\delta ) 时,D∗即与 D 完全一致。

综上所述,公式 7 为 FROC 模型的核心公式。其模型的建立是基于拉伸指数模型的基础上,但是又比其更细致和深入。同时在 FROC 模型中引入了三个参数:μ、β和 D。D 为弥散系数(Diffusion Coefficient),μ 是空间参数,β 为空间分数导数。为了求得这些参数,我们至少需要 5 个 b 值来反解方程。

Ref: 刘贯中, ,陆建平,周晓洪. 磁共振弥散成像分数微积分模型在儿童脑肿瘤中的临床应用[D].第二军医大学,2012.

6 CTRW

        CTRW模型是单纯随机游走弥散模型(random-walk diffusion model)的一般形式,单纯随机游走弥散模型(random-walk diffusion model)可以认为其弥散位移的均方值和弥散时间之间是成比例的。当为了解释弥散组织的复杂性和异质性时,单纯随机游走弥散模型一般化为CTRW模型,其中弥散运动的跳跃距离(jump distance)和跳跃等待时间(jump waiting time)将不再符合高斯分布。在一般的CTRW模型中,均方位移(mean-square displacement,MSD)可以用下面的公式来表示:

< x^{2}(t)> \sim t^{2\alpha /\beta }\equiv t^{\gamma }

        其中t是弥散的时间,α和β′分布是跳跃等待时间和跳跃距离的概率分布的分数次幂。当α=1,和β′=2(例如γ = 1)该公式退化为高斯分布的MSD。而如果γ > 1 或者γ < 1,这种在流体力学中见到的反常弥散过程又演变为超弥散(super-diffusion)或者亚弥散(sub-diffusion)。在CTRW的理论背景下,在不均匀组织中,与测量的磁化信号强度成比例的水分子的S(x,t) 可以用空间-时间分数阶弥散方程表示如下:

_{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha}_{t}(S(x,t))= D_{\alpha ,\beta`} \frac{\partial^\beta` S(x,t)}{\partial |x|^\beta`}                                                 公式 (1)

其中_{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha}_{t}是第\alpha分数阶时间导数的Caputo形式,∂β′ /∂|x|β′ 是第β′ 分数阶空间导数的Riesz形式,D_{\alpha,\beta `} 是弥散系数的一般形式(\mu m^{\beta }/s^{\alpha })。在连续极限下,公式(1)一般弥散方程的解可以产生一个用Mittag-Leffler 函数 (MLF)表示的信号衰减形式:

E_{\alpha }(Z)=\sum ^{\propto }_{k=0} \frac{z^{\kappa }}{\Gamma (\alpha \kappa +1)}                         公式 (2)


通过定义β= β′/2, b = q2(Δ − δ/3),和 \bar{\Delta } = (Δ − δ/3),δ 和Δ 是Stejskal-Tanner弥散梯度脉冲的宽度和脉冲之间的时间间隔,q 是q-space变量,对于Stejskal-Tanner弥散梯度,公式(1)的解可以y用下式来表示。

M(q) = M_{0}E_{\alpha }(-D_{1,2}\frac{\tau ^{1- \alpha }}{\mu ^{2-2\beta }}|q|^{2\beta }\bar{\Delta }^{\alpha })                    公式 (3)

其中M是测量到的初始值为M_{0}的信号强度。在公式(3)中,Ea是MLF,D1,2是常规弥散系数(mm2/s),μ ( μm) 和 τ (ms) 分别是空间和时间参数,他们也是弥散系数单位的来源和组成。如果用b/Δ̄, Eq替换q2 。公式 (2) 可以写成:

M(q) = M_{0}E_{\alpha }(-D_{1,2}\frac{\tau ^{1- \alpha }}{\mu ^{2-2\beta }}b^{\beta }\bar{\Delta }^{\alpha -\beta })            公式 (4)

为了降低估计模型参数的计算复杂度,公式(4)的解通过定义“反常扩散系数”D_{m}

D^{\beta }_{m} \equiv -D_{1,2}\frac{\tau ^{1- \alpha }}{\mu ^{2-2\beta }}\bar{\Delta }^{\alpha -\beta }

公式(4)可以以MLF的形式写成下面的形式:

M(b)=M_{0}E_{\alpha }(-(bD_{m})^{\beta })                         公式(6)

D_{m}通常称为反常扩散系数,单位是μm2/s ,公式(6)提供了一个简化的数学表达式,在这个表达式中,可以得到类似弥散系数D_{m},和另外两个参数α 和β,可以反映弥散在时间和空间的异质性,该参数提供了一种用来对体素和其周围环境进行量化的方法。

 参考文献:Karaman MM, Sui Y, Wang H, Magin RL, Li Y, Zhou XJ. Differentiating low- and high-grade pediatric brain tumors using a continuous-time random-walk diffusion model at high b-values. Magn Reson Med. 2016 Oct;76(4):1149-57. doi: 10.1002/mrm.26012. Epub 2015 Oct 31. PMID: 26519663; PMCID: PMC4852163.

   

 

 

标签:分数,IVIM,公式,模型,弥散,系数,参数,SEM,CTRW
来源: https://blog.csdn.net/weixin_43156127/article/details/120237569