排列组合（卢卡斯定理）

终终终.......于要对组合数学下手了

我们来看一下这个 （在a个苹果中选出b个苹果）

 根据以上两种情况：

我们可以得到这个递推式：

我们知道，那么任何一个都可以由更小的递推出来，直接上代码：

void init()
{
    for (int i =0; i < N; i ++ )
    {
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
        {
            if(!j)c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = (c[i-1][j] + c[i-1][j-1])% mod;
        }
    }
}

第二种算法：

没错这就是官方公式

我们直接从公式下手，除法的话，我们用快速幂求逆元变成乘法来做。

上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 100010,mod = 6662333;

//求逆元
int qmi(int a,int b,int p)
{
    int res = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)res = (LL)res * a %p;
        a = (LL)a * a % p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
LL n;
int res=1;
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    
    for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--)
    {
        res = (LL)res * j % mod;
        res = (LL)res * qmi(i,mod-2,mod) % mod;
    }
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}

洛谷题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3807

接下来我们的主角来了----卢卡斯定理（lucas）。

lucas定理：（p 是质数）

Lucas 定理专门用来求解大组合数取模的问题，但是模数必须为素数。

 根据公式可以发现 中  a mod p 和 b mod p 一定是小于p的，所以我们可以根据之前求组合数的算法来求，后半部分使用递归的方式继续采用 lucas定理来求即可。

上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

int p,n;
//求逆元 
int qmi(int a,int b)
{
    int res = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)res =(LL)res * a %p;
        a =(LL) a * a % p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
//求组合数 
int C(int a,int b)
{
    int res =1;
    for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--)
    {
        res = (LL)res * j % p;
        res = (LL)res * qmi(i,p-2) % p;
    }
    return res;
}
//lucas定理 
int lucas(LL a,LL b)
{
    if(a<p && b<p) return C(a,b);
    else return (LL)C(a % p,b % p) * lucas(a / p,b / p) % p; 
}
int main()
{
    cin>>n;
    while (n -- )
    {
        LL n,m;
        cin>>n>>m>>p;
        cout<<lucas(n+m,n)<<endl;
    }
    return 0;
}

get！

标签：int,res,定理,long,卢卡斯,排列组合,LL,mod
来源： https://blog.csdn.net/qq_47982709/article/details/120178285