509. 斐波那契数

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给你 n ，请计算 F(n) 。

来源：力扣（LeetCode）
 

通项公式（数学）

我们假设有一个等比数列，公比是x，x不为0，首项为1，可以满足斐波那契数列的递推公式，于是就有：，将等比数列代入递推式中得到，提取，移项，即有：

,

由于，可得：

 ，解此一元二次方程，可得两个根为：，。

也就是说等比数列，是满足斐波那契数列递推公式的两个解，但是实际上这两个等比数列都不是斐波那契数列的通项公式，既然单独的解不是，那么它们的组合呢？容易验证它们的线性组合，即：，、是两个待求解的常数，也是递推公式的解。

为了确定这两个常数，我们需要数列的前两项作为初始因子，细想一下，一个数列怎么能没有首项呢？例如等差数列由首项和公差确定，等比数列由首项公比确定，公差和公比至少需要数列的前两项确定，将和代入线性组合的式子里，可得：

， 

解得：，

 于是斐波那契数列的通项公式为：

int 
fib(int n)
{
    double Sqrtfive = sqrt (5);
   // round 函数取整
    return round ((pow ((Sqrtfive + 1) / 2, n) - pow ((1 - Sqrtfive) / 2, n)) / Sqrtfive);
}

 

动态规划

 

int 
fib(int n)
{
    if (n < 2)
    {
        return n;
    }

    int p = 0, q = 0, r = 1;

    for (int i = 1; i < n; i ++)
    {
        p = q;
        q = r;
        r = p + q;
    }

    return r;
}

标签：契数,等比数列,数列,int,斐波,Sqrtfive,509,那契
来源： https://blog.csdn.net/qq_59697980/article/details/120146785