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自动机（估计要写几天）

2021-08-27 21:31:33 作者：互联网

$AC$ 自动机
- $Trie$ 树
- KMP

$AC$ 自动机

$Trie$ 树

对于字符串来讲，这应该是最基础的数据结构。

$Trie$ 树的每一条边代表一个字符，每个节点代表一个字符串，具体指从根节点到该节点经过的所有边的字符的合集，根节点编号为0。

例如上图中，从根节点到9号节点有 $b$，$e$，$e$，三条边，于是9号节点代表的字符串便是 $bee$。

每当我们向 $Trie$ 树中加入一个字符串，我们将加入的初始位置设为根，每加入一个字符，寻找当前位置是否有连该字符的边，比如对于上图，我现在要加 $beg$，根节点已经向1号节点连边 $b$，我们就直接挪至3号节点，同理，我们可以继续移至8号节点，然后我们发现8号节点并未向下连一条 $g$ 的边，因此我们建一个新节点，向它连边 $g$。

在判断这方面，我们用 $go[i][j]$ 来储存 $i$ 号节点是否练了字符 $j$ 的边，存储的值就是连边的目标节点。

代码

void push(){
	int t=0;
	for(int i=0;i<len;i++){
		int tt=c[i]-'a';
		if(!go[t][tt])go[t][tt]=++cnt;
		t=go[t][tt];
	}
	isend[t]++;
}

KMP

对于字符串问题，我们通常需要去处理匹配问题，例如在字符串 $A$ 中找字符串 $B$，我们可能找了很长一段之后，失配了，我们会迫不得已重新从开头寻找，将当次的起点向后挪一位，然后再从新的起点一个个匹配，但如果我们能找到在当前已匹配的 $B$的字串的一段后缀，使它恰好与相同长度的 $B$ 的前缀相同，那是不是会很方便，我们可以继续在已枚举到的 $A$ 的位置继续向下匹配，而不是回退很多，从头再来，例如下图。

绿色标出的便是前文所说的那一段后缀，相当于如果我们找到了这样一段，我们就可以仅仅将当前要所寻的 $B$ 的位置更改，而对 $A$ 仍照常找下去。

而对于这样一个后缀的寻找，我们就要用到 $KMP$。

我们用$fail[i]$表示对于 $B$ 串的位置 $i$，以 $i$ 为结尾的最长的满足等于对应长度前缀的后缀，即 $c[1$ $to$ $fail[i]]$ $=$ $c[i-fail[i]+1$ $to$ $i]$。

操作都是在 $Trie$ 树上进行。

这是可以通过 $fail[i-1]$ 求得的，如果 $fail[i-1]$ 的点有连向 $c[i]$ 的边，说明什么，相当于在 $i-1$ 找到的 $B$ 的前缀和相同的以 $i-1$ 的结尾的后缀后面都有一个 $c[i]$。这样 $fail[i]$就等于 $fail[i-1]+1$，对吧？那如果没边呢，我们去考虑 $fail[fail[i-1]]$，这样也还是能执行上一操作，因为前 $fail[i-1]$ 个字符的后缀，也相当于 $c[i-1-fail[i-1]+1$ $to$ $i-1]$ 的后缀，所以 $fail[i-1]$ 处理时找到的那个前缀，依旧满足是 $i-1$ 的一个后缀，所以仍能继续执行该操作。

所以在代码中我们每次通过 $fail[i]$ 去推 $fail[i+1]$，在前面的匹配问题中，我们发现 $fail[i]$ 一定要小于 $i$，这样才能保证不会一直停留在同一个位置，$c[1$ $to$ $i]$ $=$ $c[1$ $to$ $i]$ 是没有意义的，对吧。

代码

fail[1]=0;
for(int i=1;i<len2;i++){
  int x=fail[i];
  while(x&&s[x]!=s[i])x=fail[x];
  fail[i+1]=(s[x]==s[i]?x+1:0);
}

标签：Trie,后缀,几天,我们,字符串,估计,fail,自动机,节点
来源： https://www.cnblogs.com/zxhmh/p/15195297.html

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\(Trie\) 树

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