最小生成树
作者:互联网
定义:一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,且包含原图中的
所有n 个结点,并且有保持图连通的最少的边。常用kruskal算法或prim算法求解。
kruskal算法:
前置知识:并查集判环,优先队列。
算法流程:
1.以每个点为元素建立并查集。
2.将所有边以边长为主元插入优先队列。
3.依次取出优先队列中边长最小的边,判断x,y是否在同一个集合
是: 跳过。
否:将x,y所在集合合并,将该边加入树中。
4.所有点都处于同一个集合,算法结束。
下面我们证明算法的正确性:
假设上述流程所得到的不是最小生成树,则一定存在一个节点x,满足
x->A(A为除了节点x外,剩下的节点的组成的最小生成树)存在一条边U(x->A)
小于x->A的最小距离,则U(x->A)必定在当前边之前被取出,与优先队列的性质
不符合,假设不成立,可知该算法得到的生成树为这个图的最小生成树。
模板
#include<bits/stdc++.h> #define N 1000000 using namespace std; struct node { int x,y,v; bool friend operator <(const node &a,const node &b) { return a.v>b.v; } }e[N]; int fa[N]; int n,m; int ans,cut; priority_queue<node>dl; int find(int x) { if(fa[x]!=x)return fa[x]=find(fa[x]); return fa[x]; } void kruskal() { while(dl.size()) { node t=dl.top(); dl.pop(); int x=t.x,y=t.y,v=t.v; int fx=find(x); int fy=find(y); if(fx==fy)continue; fa[fx]=fy; e[++cut]=t; } } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y,v; scanf("%d%d%d",&x,&y,&v); dl.push({x,y,v}); } for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; kruskal(); for(int i=1;i<=cut;i++) printf("%d %d %d\n",e[i].x,e[i].y,e[i].v); return 0; }
prime算法:
摘录于:https://blog.csdn.net/lqcsp/article/details/14118871
Prime算法的核心步骤是:在带权连通图中V是包含所有顶点的集合,U已
经在最小生成树中的节点,从图中任意某一顶点v开始,此时集合U={v},重复
执行下述操作:在所有u∈U,w∈V-U的边(u,w)∈E中找到一条权值最小的边,
将(u,w)这条边加入到已找到边的集合,并且将点w加入到集合U中,当U=V时,
就找到了这颗最小生成树。其实,算法的核心步骤就是:在所有u∈U,w∈V-U
的边(u,w)∈E中找到一条权值最小的边。
下面我就用图示法来演示一下工作流程,如图:
首先,确定起始顶点。我以顶点A作为起始点。根据查找法则,与点A相邻
的点有点B和点H,比较AB与AH,我们选择点B,如下图。并将点B加入到U中。
继续下一步,此时集合U中有{A,B}两个点,再分别以这两点为起始点,根据
查找法则,找到边BC(当有多条边权值相等时,可选任意一条),如下图。并将
点C加入到U中。
继续,此时集合U中有{A,B,C}三个点,根据查找法则,我们找到了符合要求的
边CI,如下图。并将点I加入到U中。
继续,此时集合U中有{A,B,C,I}四个点,根绝查找法则,找到符合要求的边CF,
如下图。并将点F加入到集合U中。
继续,依照查找法则我们找到边FG,如下图。并将点G加入到U中。
继续,依照查找法则我们找到边GH,如下图。并将点H加入到U中。
继续,依照查找法则我们找到边CD,如下图。并将点D加入到U中。
继续,依照查找法则我们找到边DE,如下图。并将点E加入到U中。
此时,满足U = V,即找到了这颗最小生成树
#include <algorithm> const int MAX_V = 100; const int INF = 1000000; int cost[MAX_V][MAX_V];//图 int V; bool path[MAX_V][MAX_V];//记录结果 int res; bool used[MAX_V];//表示是否访问过 int mincost[MAX_V];//表示到此点消耗值 void Prime() { res = 0;//统计最小消耗 for (int i = 0;i < V;++i)//初始化 { used[i] = false; mincost[i] = INF; for (int j = 0;j < V;++j) { path[i][j] = false; } } mincost[0] = 0;//从0点开始 int prev = 0;//记录路径 while (true) { int visited = -1; for (int i = 0;i < V;++i) { if (!used[i] && (visited == -1 || mincost[i] < mincost[visited])) visited = i;//贪婪寻找最短边 } if (visited == -1) break; used[visited] = true; if (visited) { path[prev][visited] = true; prev = visited; } res += mincost[visited]; for (int i = 0;i < V;++i) { mincost[i] = std::min(mincost[i], cost[visited][i]); } } }
标签:int,MAX,mincost,最小,生成,算法,visited 来源: https://www.cnblogs.com/1314cyd/p/15185783.html