[杂题笔记]20210807-20210817
作者:互联网
就先定个小目标每天写他个三题(x),但最近还是有点累,大概就还是写点简单的题(Div2里ABCD差不多,EF这种过段时间如果状态好点补上)
https://www.luogu.com.cn/problem/P2260求\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (n\bmod i)(m\bmod j),(i\neq j),n,m\leq 10^9\end{aligned}\)取模的值。
取模的定义展开,拆成四项分别用除法分块处理,再扣掉\(i=j\)的部分,注意模数不是质数。
https://www.luogu.com.cn/problem/P3935
\(\begin{aligned}x=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_n^{k_n},f(x)=(k_1+1)(k_2+1)\dots(k_n+1),\end{aligned}\)求\(\sum_{i=l} ^r f(i)\).
我好铸币,\(f(x)\)对应的就是\(x\)的因数个数,然后前缀和变成\(\sum_{i=1}^n \sum_{d=1}^n [d|i]=\sum_{d=1}^n \lfloor\frac{n}{d}\rfloor\),除法分块。
https://codeforces.com/problemset/problem/1557/A, 把数组排好序,最后一个单独一个集合,剩下的n-1个一个集合。考虑一个轻微的扰动,用反证法证明。
https://codeforces.com/problemset/problem/1557/B, 因为每个数都是unique的,二分求出每个数排好序之后的位置,要分割的每个子段一定是连续递增的整数。
https://codeforces.com/problemset/problem/1557/C, 数学题,\(a_1,\dots,a_n\)要让他们\(\&\)的结果不小于\(\oplus\)的结果,因为懒得考虑取等的情况,那就考虑\(a_1\&\dots\& a_n<a_1\oplus\dots \oplus a_n\)的情况,假设在第\(p\)位的地方出现左边<右边,那也就是左边的第p位是0,右边的是1,进一步\(a_{1p}\&\dots\& a_{np}=0\),也就是第\(p\)位至少有一个0,以及\(a_{1p}\oplus \dots \oplus a_{np}=1\),也就是有奇数个1,两个条件结合起来意味着:\(n\)是奇数时,\((a_{1p},a_{2p},\dots,a_{np})\)有\(C_n^2+C_n^4+\dots+C_n^{n-1}=2^{n-1}-1\)种,如果是偶数则是\(2^{n-1}\)种,接着对于比第\(p\)位更高的位,与运算结果要和异或一样,同样的方法分类讨论,\(n\)为奇数时每一位有\(2^{n-1}+1\)种,偶数时有\(2^{n-1}-1\)种,而对后面的位置则无所谓,最后答案就是:\(n\)为奇数时,\(2^{nk}-(2^{n-1}-1)\sum_{i=0}^{k-1}(2^{n-1}+1)^i 2^{n(k-i-1)}\),\(n\)为偶数则是\(2^{nk}-2^{n-1}\sum_{i=0}^{k-1}(2^{n-1}-1)^i 2^{n(k-i-1)}\)种。
https://codeforces.com/problemset/problem/1555/A, 暴力
https://codeforces.com/problemset/problem/1555/B, 贪心地,新桌子一定在某个角落里,同时必要条件是新加的桌子要在水平/竖直的一个方向上能放得下,仔细想想这也是充分的条件,于是如果能移,那一定只在水平/竖直的一个方向上移动。
https://codeforces.com/problemset/problem/1555/C, 先手会拿到一个\(a[1][1,\dots,x]\)和\(a[2][x,\dots,n]\),后手只会拿到\(a[1][x,\dots,n]\)或者\(a[2][1,\dots,x]\)其中最大的那个,于是答案就是让这两者的最大值尽可能小。
https://codeforces.com/problemset/problem/1555/D, 这题性质很特殊,只有3种字母,动手画一画会发现,一个字符串要是beautiful的(任何一个长度不小于2的子串,都不能是回文的),假设是ab开头,下一个只能是c,接着abc的再下一个只能是a,以此往复只能是abcabcabc重复的结构,\((a,b,c)\)一共6种轮换,\(O(6n)\)地暴力处理。
https://codeforces.com/problemset/problem/1554/A, 考虑某个已经包含\(\max_i a_i\)的区间\([l,r]\),一旦去扩展区间,只可能让区间的\(\min\)变小,所以我们要尽可能控制区间长度,也就是只要检测长度为2的区间。
https://codeforces.com/problemset/problem/1554/B, 很有意思的题,给一个长度\(n\leq 10^5\)的非负整数序列,找到最大的$ij-k(a_i|a_j),k\leq \min(100,n),i\neq j,\forall i:a_i\leq n \(。和位运算其实没什么关系,重要的性质还是\)(a_i|a_j)\leq 2n\(和\)k\leq 100$这个。
接着这么分析,先考虑\(f(i,n)\)要成为答案的必要条件,取\(f(i,j)>f(n-1,n)\)得到\(in\geq ij\geq ij-k(a_i|a_j)>n^2-n-2kn,\)联系两边得到\(i>n-1-2k\),即\(i\geq n-2k\)。同样对称地有\(j\leq n-2k\),复杂度\(O(k^2)\)。
https://codeforces.com/problemset/problem/1554/C, 又是一个和位运算相关的问题,给\(n,m\)求\(n\oplus 0,\dots,n\oplus m\)的mex。
假设答案\(k\)是由\(n\)和另一个\(x>m\)异或出来的结果,即\(n\oplus x=k\),则一定有\(x=n\oplus k>m\),于是变成找最小的\(k\)使得\(n\oplus k >m\),构造地考虑二进制位,从高往低考虑二进制位:①如果某个位置出现了\(n_i>m_i\),也就是\(n_i=1,m_i=0\)的情况,那只要让后面更低的位置\(k_p\)全部取0就行,这时候的\(k\)就是答案。②否则就取\(k_i=n_i\oplus m_i\),这样往下取至少能保证最后的\(n\oplus k=m\),(当然一旦遇到①的话就直接大于了),如果到最后都没遇到①的情况,那就微调\(k\)的低位,也就是找到\(m\)最低位的0,让\(n\oplus k\)这一位变成1。
https://codeforces.com/problemset/problem/1554/D, 构造题,要构造\(s\)使得每个非空子串在\(s\)中出现奇数次,考察形如s=aa...aaa
这样子的串,其长度为\(|s|-1\)的子串在里面出现奇数次,\(|s|-2\)的子串出现了偶数次,以此类推,于是就拿两个形式一样的,长度相差为1的串拼起来。
这次是有嘉然小姐的一场题!(看了眼果然是中国人出的)
https://codeforces.com/problemset/problem/1559/A, 对每个二进制数位考虑所有数,如果都是1那怎么操作都是1,否则就是0.
https://codeforces.com/problemset/problem/1559/B, 对于B?...?B和B?...?R这样的结构,只要和开头那个不一样,交错着填下去就行,特别判一下左/右一端。
https://codeforces.com/problemset/problem/1559/C, 画一下图,如果有01这种结构的出现,那就走\(1\to \dots \to i\to (n+1)\to i+1\to \dots n\)这条路线,否则一定是形如\(11\dots100\dots 00\)的结构,如果有1就从\((n+1)\)出发走一遍,否则全是0就从1开始走,最后走\(n+1\)。综上,符合条件的路径一定存在。
剩下的两题之后补上(x)
https://codeforces.com/problemset/problem/1540/A, Div1的A,题读了好久(可恶),说现在有一张有向图但是忘了长什么样,只知道1到别的点的最短距离\(d_i\geq 0\),以及不会出现负环和重边,求所有边权之和最小值。
注意到\(1\to 2\to\dots\to n\)的这条链是一定要有的,他们边权求和是固定的\(d_n-d_1=d_n\),那就想着怎么加负权边,只要\(i<j,d_i<d_j\),就意味着\(d_j-d_i\)有一条正的路径,这样就可以连一条\(j\to i\)的\(d_i-d_j\)的负权边,这就启示我们把\(d[]\)升序排序之后统计\(\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n(d_i-d_j)=\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)d_i-\sum_{j=2}^n (j-1)d_j\),复杂度\(O(n\log n)\)。(可恶,Div1的A怎么这么难,2分钟过的真的是碳基生物吗(x))
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