P3806 【模板】点分治1题解
作者:互联网
题干
给定一棵有 n 个点的树,询问树上距离为 k的点对是否存在。
分析
Part1:点分治的意义
分治都懂吧,将问题划分为若干个子问题,最后合并答案
可以类比归并排序,冒泡排序的复杂度为O(n^2),而归并则是稳定的O(n log2 n)
点分治同理,我们将每个树划分为若干个子树,然后分开来处理,这样可以优化时间复杂度
Part2:如何点分治
观察若有这样一棵树,若我们把1当做根节点,则点分治就毫无意义
因为这时候我们的递归层数为n层
时间复杂度仍然是O(n^2)
但如果看做这样一棵树呢?
显然,若按照根节点分割开后,剩下的子树为12,45每一颗树的大小缩小为原来的一半
所以递归的层数直接降为 log2 n 层
可以得到现在的复杂度仅有O(n log2 n)
那么我们怎么找到要切割的这个点呢?
显然是树的重心,这样分割完后剩下的子树会尽量地平衡(size的最大会最小),从而达到最优的时间复杂度
Part 3:如何操作
对于一棵树,该树上的所有路径必能分为:
1.经过根节点的路径
2.没经过根节点的路径
情况1:
先考虑第一种情况:我们对每一个根(也就是重心),我们求取他所有的dis[k]表示k到根的距离
那么任意两点的距离(经过根)distance(x,y)=dis[x]+dis[y]
对于一个询问k,若存在dis[x]和dis[y]=k-dis[x]则说明这个条件可以满足
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但仍有一个例外:
假定我们以5为根节点(只画出了左子树嗷),设每一条边长为1
若k=4,那么4和1到5的距离加起来正好为4
但显然1到4这条链上不会有5,所以我们还要统计该点是从那个(根节点的亲儿子)来的
若两个点从同一个儿子过来的,那么就忽略这种情况
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回到如何检验该询问能否成立
我们将所有的dis从小到大排一个序,设定两个坐标1和dis的长度分别为l,r
若dis[l]+dis[r]>k,就将r减一,这样总和就会变小
反之,将l加一,这样总和就会变大
情况2:
如果该条链不经过根节点,那么必然在他的子树里,我们就要进行分治
先将根节点断开,对于每一棵子树,我们先求得他的根节点也就是重心
之后我们仍然考虑两种情况:
1.经过根节点的路径
2.没经过根节点的路径
懂了吗,情况一就和上面一样,情况二则继续分治
从而有了这样一个divide函数:
void divide(int x) { vis[x]=1; calc(x); for(int i=head[x]; i; i=nxt[i]) { int y=to[i]; if(vis[y]) continue; root=0; getrt(y,0,size[y]); divide(root); } }
vis数组表示这个点已经被隔开来,calc函数用于解决在这个根节点上的情况一
之后对于他的每一个孩子,我们都要找到他的重心,然后继续搜索
下面贴一下calc函数,getrt函数,以及其附属函数
calc:
void calc(int x) { tot=1; a[tot]=x; dis[x]=0; father[x]=x; for(int i=head[x]; i; i=nxt[i]) { int y=to[i]; if(vis[y]) continue; get(y,x,val[i],y); } sort(a+1,a+tot+1,cmp); for(int i=1; i<=m; i++) { int l=1,r=tot; if(ans[i]) continue; while(l<r) { if(dis[a[l]]+dis[a[r]]>query[i]) r--; else if(dis[a[l]]+dis[a[r]]<query[i]) l++; else if(father[a[l]]==father[a[r]]) { if(dis[a[r]]==dis[a[r-1]])r--; else l++; } else { ans[i]=1; break; } } } }
dis[i]表示所有点到i的距离
father[i]表示i对应的根的亲儿子
get函数用于得到所有的dis和father
之后就按照我们上面的思路,排序,查找,如果第i个询问可行,则ans[i]=1
然后是get函数以及cmp函数:
bool cmp(int x,int y) {return dis[x]<dis[y];}
void get(int x,int fa,int now,int rt) { tot++; a[tot]=x; dis[x]=now; father[x]=rt; for(int i=head[x]; i; i=nxt[i]) { int y=to[i]; if(y==fa||vis[y]) continue; get(y,x,now+val[i],rt); } }
很明显,不用过多的分析。
然后是getrt函数
void getrt(int x,int fa,int total) { size[x]=1; maxsum[x]=0; for(int i=head[x]; i; i=nxt[i]) { int y=to[i]; if(y==fa||vis[y]) continue; getrt(y,x,total); size[x]+=size[y]; maxsum[x]=max(size[y],maxsum[x]); } maxsum[x]=max(maxsum[x],total-size[x]); if(!root||maxsum[x]<maxsum[root]) root=x; }
依旧是很常规,maxsum[i]记录i的最大子树的大小,size记录他子节点以及他本身的个数
然后就完美的解决辽~
代码:
void add(int a,int b,int c) { cnt++; nxt[cnt]=head[a]; to[cnt]=b; val[cnt]=c; head[a]=cnt; } void getrt(int x,int fa,int total) { size[x]=1; maxsum[x]=0; for(int i=head[x]; i; i=nxt[i]) { int y=to[i]; if(y==fa||vis[y]) continue; getrt(y,x,total); size[x]+=size[y]; maxsum[x]=max(size[y],maxsum[x]); } maxsum[x]=max(maxsum[x],total-size[x]); if(!root||maxsum[x]<maxsum[root]) root=x; } bool cmp(int x,int y) { return dis[x]<dis[y]; } void get(int x,int fa,int now,int rt) { tot++; a[tot]=x; dis[x]=now; father[x]=rt; for(int i=head[x]; i; i=nxt[i]) { int y=to[i]; if(y==fa||vis[y]) continue; get(y,x,now+val[i],rt); } } void calc(int x) { tot=1; a[tot]=x; dis[x]=0; father[x]=x; for(int i=head[x]; i; i=nxt[i]) { int y=to[i]; if(vis[y]) continue; get(y,x,val[i],y); } sort(a+1,a+tot+1,cmp); for(int i=1; i<=m; i++) { int l=1,r=tot; if(ans[i]) continue; while(l<r) { if(dis[a[l]]+dis[a[r]]>query[i]) r--; else if(dis[a[l]]+dis[a[r]]<query[i]) l++; else if(father[a[l]]==father[a[r]]) { if(dis[a[r]]==dis[a[r-1]])r--; else l++; } else { ans[i]=1; break; } } } } void divide(int x) { vis[x]=1; calc(x); for(int i=head[x]; i; i=nxt[i]) { int y=to[i]; if(vis[y]) continue; root=0; getrt(y,0,size[y]); divide(root); } } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin>>n>>m; for(int i=1; i<n; i++) { int x,y,w; cin>>x>>y>>w; add(x,y,w); add(y,x,w); } for(int i=1; i<=m; i++) { cin>>query[i]; if(!query[i]) ans[i]=1; } maxsum[0]=n; getrt(1,0,n); divide(root); for(int i=1; i<=m; i++) if(ans[i]) cout<<"AYE"<<endl; else cout<<"NAY" <<endl; return 0; }View Code
query存储读入的k
ans用于记录该询问可不可行
在进入搜索前先找一遍重心
AC~
标签:int,题解,getrt,节点,P3806,size,maxsum,模板,dis 来源: https://www.cnblogs.com/2333blog/p/15123133.html