二分图匹配与带权匹配
作者:互联网
二分图最大匹配,二分图带权匹配
打第五场牛客多校的时候发现KM的板子复杂度假了,特来补上,顺带复习一下
二分图最大匹配
匈牙利算法
交替路:从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边,匹配边,非匹配边\(\cdots\),形成的路径叫交替路。
增广路:途径交替路的起点之外的其他未匹配点的交替路叫做增广路。其一个重要性质是:非匹配边比匹配边多一条,因此交换增广路中的匹配边和非匹配边可以使匹配数+1。
增广路定理:当找不到增广路时,达到最大匹配。
匈牙利算法求最大匹配就是不断寻找增广路,每次找到增广路可以使匹配数+1,时间复杂度\(O(VE)\),空间复杂度\(O(E)\)
UOJ #78 二分图最大匹配:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1007;
vector<int> adj[maxn];
bool vis[maxn]; //一次dfs过程中,右半边集合中的顶点是否已访问。
int ans[maxn], res[maxn]; //右半边集合中的点匹配的左半边点的编号。
int nl, nr, m;
bool dfs(int u) {
for (int i = 0; i < adj[u].size(); i++) {
int v = adj[u][i];
if (!vis[v]) { //如果右半边的点v还未被访问
vis[v] = true;
if (ans[v] == -1 || dfs(ans[v])) {
//如果v没有匹配点,或是v的匹配点能找到一条到未匹配点的增广路
ans[v] = u;
res[u] = v;
return true;
}
}
}
return false;
}
int maxmatch() {
int res = 0;
memset(ans, -1, sizeof(ans));
for (int i = 1; i <= nl; i++) {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
res += dfs(i);
}
return res;
}
int main() {
cin >> nl >> nr >> m;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int v, u;
scanf("%d%d",&v,&u);
adj[v].push_back(u);
}
printf("%d\n", maxmatch());
for (int i = 1; i <= nl; i++) {
printf("%d ", res[i]);
}
return 0;
}
HK算法
UOJ上的榜一写的Hopcroft-Krap算法,9msAC,,,时间复杂度\(O(\sqrt{V}E)\),实际速度很快
从hopcroft-karp算法 和二分图大讲堂——彻底搞定最大匹配数(最小覆盖数)、最大独立数、最小路径覆盖、带权最优匹配 - One thing I know,that is I know nothing.(Socrates Greek) - ITeye博客学习一波
HK算法的流程如下:
用bfs对图进行分层,左部点中的所有未匹配点组成第一层,把经过的匹配点全部加入队列,直到所有未访问的匹配点都加入队列。(bfs保证了不相交且最短)然后使用dfs遍历bfs找出的所有增广路(按层次走),每条增广路可以使匹配数+1.不断重复bfs和dfs,直到找出了增广路。
代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1007, inf = 0x3f3f3f3f;
vector<int> adj[maxn];
int ansx[maxn], ansy[maxn], dx[maxn], dy[maxn], dis, nl, nr, m;
//ansx,ansy储存的分别是左边点和右边点对应的匹配点,dx和dy是bfs分出的层次,dis是当前bfs的增广路的长度
bool vis[maxn];
bool bfs() {
queue<int> q;
dis = inf;
memset(dx, -1, sizeof(dx));
memset(dy, -1, sizeof(dy));
//先找出左半边集合中的未匹配点作为bfs的源点
for (int i = 1; i <= nl; i++) {
if (ansx[i] == -1) {
q.push(i);
dx[i] = 0;
}
}
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
if (dx[u] > dis) break;
for (int i = 0; i < adj[u].size(); i++) {
int v = adj[u][i];
if (dy[v] == -1) {
dy[v] = dx[u] + 1;
if (ansy[v] == -1) dis = dy[v]; //每一轮bfs 增广路的长度+1
else {
dx[ansy[v]] = dy[v] + 1;
q.push(ansy[v]);
}
}
}
}
return dis != inf;
}
bool dfs(int u) {
for (int i = 0; i < adj[u].size(); i++) {
int v = adj[u][i];
if (!vis[v] && dy[v] == dx[u] + 1) {
vis[v] = 1;
//if (ansy[v] != -1 || dy[v] == dis) continue;
if (ansy[v] == -1 || (dy[v] != dis && dfs(ansy[v]))) {
ansy[v] = u;
ansx[u] = v;
return true;
}
}
}
return false;
}
int maxmatch() {
int res = 0;
memset(ansx, -1, sizeof(ansx));
memset(ansy, -1, sizeof(ansy));
while (bfs()) {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for (int i = 1; i <= nl; i++) {
if (ansx[i] == -1)
res += dfs(i);
}
}
return res;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &nl, &nr, &m);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v;
scanf("%d%d", &u, &v);
adj[u].push_back(v);
}
printf("%d\n", maxmatch());
for (int i = 1; i <= nl; i++) {
printf("%d ", ansx[i] == -1 ? 0 : ansx[i]);
}
}
最大流
略,复杂度\(O(n^{0.5}m)\)
二分图带权匹配
费用流要注意spfa会被卡(牛客多校5 J),dijkstra费用流没去试,m=n^2时应该也好不到哪里去
正确写法的KM算法是严格\(O(n^3)\)的
AcWing 375. 蚂蚁 - O(n^3) DFS版 KM算法 - AcWing
lyd给的真\(O(n^3)\)的dfs版KM
KM(匈牙利)算法:
P6577 【模板】二分图最大权完美匹配 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
二分图最大权匹配 - OI Wiki (oi-wiki.org)
可以在\(O(n^3)\)的时间内求出二分图的最大权完美匹配;
标签:二分,ansy,匹配,增广,int,带权,maxn,dy 来源: https://www.cnblogs.com/YjmStr/p/15101547.html