组合数学入门 Day2
作者：互联网
参考教材是清华大学出版社《组合数学》第五版。
第一章 如何组CP 组合（C）与排列（P）
1.6 允许重复的组合与不相邻的集合
允许重复的集合
定义：从 \(A=\{1, 2, \cdots, n\}\) 中取 \(m\) 个元素，允许元素重复。
组合数为 \(C(n+m-1,m)\) 。证明方法采用一一对应的思想。
常见应用：
线性方程 \(x_1 + x_2 + \cdots + x_n = m\) 的非负整数解的个数为 \(C(n + m - 1, m)\) 。
不相邻的集合
定义：从 \(A=\{1, 2, \cdots, n\}\) 中取 \(m\) 个元素，不存在两个相邻元素同时被取。
组合数为 \(C(n - m + 1, m)\) ，证明方法采用一一对应的思想。
1.7 组合数的一些性质
考虑组合数性质时，经常考虑”取球模型“或”网格图模型“
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\(C(n + m, n) = C(n + m, m)\)
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杨辉三角：\(C(n, m) = C(n - 1, m) + C(n - 1, m - 1)\) （参考网格图对角最短路径数的转移）
- 推论：\(C(n + m + 1, m) = \sum_{k = 0}^{m}{C(n + k, k)}\)
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\(C(n, l)\cdot C(l, r) = C(n, r)\cdot C(n - r, l - r)\)
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\(\sum_{k=0}^n{C(n, k)} = 2^n\) （用二项式定理证明）
- 推论：\(\sum_{k=0}^n{(-1)^k\cdot C(n, k)} = 0\)
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\(C(n+m, r) = \sum_{k = 0}^r{C(n, k)\cdot C(m, r - k)}\)
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\(C(n +1, m + 1) = \sum_{k = m}^n{C(k, m)}\)
1.8 Stirling 公式
\(n!\) 的近似公式。
\[n! \sim \sqrt{2n\pi}(\frac{n}{e})^n \]\(\sim\) 表示符号两端比值的极限为 1，即相对误差随 \(n\) 趋于 \(\infty\) 而趋向 0，但绝对误差可能会很大。
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