题解 P7514 【[省选联考 2021 A/B 卷] 卡牌游戏】
作者：互联网
[省选联考 2021 A/B 卷] 卡牌游戏
题目大意：
有 \(n\) 张卡牌，可以将至多 \(m\) 张卡牌翻面，求最后卡牌极差的最小值。
solution:
首先我想到二分答案：考虑 \(check\) 一个极差 \(x\) ：
-
要翻面的一定是该序列的前缀后缀。
-
两种情况：
1.枚举无需翻面区间的左端点。
2.枚举无需翻面区间的右端点。
-
确定一个端点后，另一个端点可以通过二分查找 。
-
剩下的即为需翻面的区间，要注意以下几点：
- 翻面卡牌数不能超过 \(m\) 。
- 翻面后卡牌值仍在范围内（范围具体指，如枚举左端点，则范围为 $a[,l,] \(~\) a[,l,]+x$ ）。
细节处理：
由于翻的一定是前缀后缀，可以用一个数组来存前后缀 \(\text{RMQ}\) 。刚开始我用了 \(\text{ST}\) 表但是 \(\text{T}\) 了三个点。
看到这的同学，可以自己去写代码了(tf口吻)
代码
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
template <class T>
inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template <class T>
inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
const int N=1e6+5;
int n,m;
int a[N],b[N];
int pmax[N],pmin[N],smax[N],smin[N];
inline void RMQ(){
pmax[0]=0,pmin[0]=0x7fffffff;
for(int i=1;i<=n;i++)
pmax[i]=Max(b[i],pmax[i-1]),pmin[i]=Min(b[i],pmin[i-1]);
smax[n+1]=0,smin[n+1]=0x7fffffff;
for(int i=n;i>=1;i--)
smax[i]=Max(b[i],smax[i+1]),smin[i]=Min(b[i],smin[i+1]);
}
inline int ef1(int l,int r,int x){
while(l<r){
int mid=l+r+1>>1;
if(a[mid]>x) r=mid-1;
else l=mid;
}
return r;
}
inline int ef2(int l,int r,int x){
while(l<r){
int mid=l+r>>1;
if(a[mid]>=x) r=mid;
else l=mid+1;
}
return r;
}
inline bool check(int x){
for(int l=1,r;l<=n;l++){
r=ef1(l,n,x+a[l]);
if(n-(r-l+1)>m) continue;
if(Min(pmin[l-1],smin[r+1])>=a[l]&&Max(pmax[l-1],smax[r+1])<=a[l]+x)
return 1;
}
for(int r=1,l;r<=n;r++){
l=ef2(1,r,a[r]-x);
if(n-(r-l+1)>m) continue;
if(Min(pmin[l-1],smin[r+1])>=a[r]-x&&Max(pmax[l-1],smax[r+1])<=a[r])
return 1;
}
return 0;
}
signed main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
RMQ();
int l=0,r=a[n]-a[1],ans;
while(l<=r){
int mid=l+r>>1;
if(check(mid)) ans=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
证明一下
如下图：
我们把选好的中间一段反转:
若不出现翻转区间中 \(b[\,i\,]>a[\,n\,]\) 或者 \(b[\,i\,]<a[\,1\,]\) 的情况，易证不会对极差造成影响。
若出现上述情况，不妨设 \(b[\,j2\,]<a[\,1\,]\) ，此时极差为 \(a[\,n\,]-b[\,j2\,]\)，该值一定大于 \(a[\,n\,]-a[\,1\,]\) ，不会作为最小值 。
根据上述结论，\(b[\,j1\,]>a[\,n\,]\) 时也不会出现更小的极差。
证毕
End
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