为什么基础解系的个数是n-r

Ax=b的解(满足公式的x)有三种情况，无解，有唯一解和有无穷解。基础解系讲的是有无穷解的情况。只有在A不满秩的时候，才会有无解或有无穷解的情况出现。

基础解系的“个数”不是指有多少个解，而是指这些无穷个解所构成的子空间的秩。比如，若矩阵的秩为r=n-1，那么，基础解系的就是1了。但是，这个1不是指这个基础解系里只有一个解(向量)，而是指这个基础解系的空间的秩是1，在这个秩与为1的空间中有无数解(向量)x，而这些x都满足y=Ax。

如果解空间的秩为1，那么，所有的解都在一根直线上，你拿其中任何一个解出来，其它解与它都是某个倍数的关系。

当然，r可以不止为1呀，2，3…都可以，极限或就是n-1了。r越小，基础解系就越大，解空间就比A能张成秩更大的空间了。

基础解系的个头就是自由变量的个数。比如一个有3个未知数的线性方程组(3阶矩阵)，你想化简成一个三角矩阵，没成，而是化成了一个两个台阶的梯形矩阵。这时，有一个方程含有3个未知数(x₁,x₂,x₃)，一个含有2个(x₂,x₃)，另外一个是全零方程。在这种形态下，通常我们把x₃作为一个自由变量，它的值不是从方程组里推算得到的。而是有我们“人工”赋予的。有了人工赋值的x₃后，剩余的两个方程组就形成一个满秩的二阶矩阵了，x₁,x₂的借就可以由方程组来“唯一”确定了。

每一个人造的x₃和其它两个方程算得的x₁,x₂形成一个解。每选一个不同的x₃，就得到一组不同的x₁x₂，形成又一组解。由于x₃被人来选的不同，你就得到不同的解，它们都满足原方程，它们形成一个“解空间”。但所有的这些解都在一根直线上，所以，这个解空间的秩为1。为啥是以1？因为只有一个可变(人选)量么。

3个未知数，就是n=3；梯形台阶只有两级，就是秩为2，r=2。可由人选的变量只有一个，解空间的秩就是1，本案n-r=1，矩阵阶数-矩阵秩=解空间秩。

虽然这是一个3阶矩阵的例子，但对n阶矩阵都适用。

对于Ax=b，若A满秩，则x有唯一解，这就扯不上“基础解系”。若A不满秩，x就有两种情况，一种是无解，这也扯不到基础解系；若有解，则必有无穷多解，这就涉及了基础解系了。

基础解系不是指某一个解，一个有(无穷)解的不满秩方程组的具体的解叫“特解”，而“解系”是所有这些解的集合，是“解空间”。这个解空间是能使等式成立的那些x的所在地，在这个解空间之外的x就都不能使Ax=b成立。“基础”则是指这个解空间的里“基”。如果这个解空间的秩是1，那就只有一个基，如果解空间的秩为2，则它的基向量就有2个。这个清楚的吧？

A的秩与解空间的秩的和正好等于n，在n这个数的框架里，A的秩与解空间的秩正好是此消彼长的关系。

秩为r那么有效方程的个数就是r个，如果n=r的话我们就能得到唯一确定的解，如果r＜n则还有n-r个变量是不确定的，我们把它们移到方程右边使得r个未知数可由它们表示，这样每个未知数都可由这n-r个来表示了，通过给这n-r个赋值来得到基础解系。

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