西安交大数论暑假学校笔记
作者：互联网
Day 1：首都师范，徐飞
\[\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \stackrel{|\cdot|_{\infty}}{\longrightarrow} \mathbb{R} \]即可用通常的 Archimede 度量完备化得到 \(\mathbb{R}\)，一个自然的问题，还有别的度量（绝对值）吗？
绝对值的定义
设 \(k\) 是域（所有出现的 \(k\) 都是），若 \(\psi: k \to \mathbb{R}_{\geq 0}\)
- \(\psi(a) = 0 \Leftrightarrow a = 0\)
- \(\psi(ab) = \psi(a) \psi(b)\)
- \(\psi(a + b) \leq \psi(a) + \psi(b)\)
对 \(\forall a, b \in k\) 成立，则称 \(\psi\) 为绝对值，并且一般用 \(|\cdot|\) 表示
更近一步，若 \(\psi(a + b) \leq \max\{\psi(a), \psi(b)\}, \quad \forall a, b \in k\)，
则称 \(\psi\) 满足强不等式，此时我们称 \(\psi\) 为非 Archimede 赋值，否则称为Archimede 赋值
一个域上的绝对值，就是它看作自己上的一维线性空间是赋范空间
显然结论
- \(|-1_k| = |1_k| = 1_{R_{\geq 0}}\) （之后不再区别 \(1\) 是哪里的 \(1\)）
- \(|-x| = |-1||x| = |x|\)
- 对于非 Archimede 赋值，若 \(|x| > |y|\)， 则 \(|x \pm y| = |x|\)（有种占优的感觉）
绝对值的等价
设 \(k\) 是一个域，若 \(k\) 上两个绝对值 \(\psi_1, \psi_2\) 给出了相同的拓扑，则称 \(\psi_1, \psi_2\) 等价
根据绝对值定义的 1，3 两条就可以用 \(d(x, y) = |x - y|\) 给出 \(k\) 上的度量从而给出 \(k\) 上的拓扑
平凡绝对值
\(\forall 0 \neq x \in k\), \(|x|_0 = 1\)，我们称 \(|x|_0\) 为平凡绝对值，它对应的拓扑为离散拓扑
习题： 若 \(k\) 是有限域，则 \(k\) 上只有平凡绝对值
有限域的可逆元全体（非零元全体）关于乘法构成了有限循环群，因此有限域上只有平凡绝对值
非平凡绝对值的例子
对任意给定素数 \(p\)，\(\forall 0 \neq x \in Q\)，\(x = p^k \cdot \frac{m}{n}\)，其中 \(\gcd(p, mn) = 1\)，\(k \in \mathbb{Q}\)，则定义
\[|x|_p = p^{-k} \]直接验证可知 \(|\cdot|_p\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的绝对值
注意到每个特征 0 的域的极小子域同构于 \(Q\)，因此这个例子十分有代表性
对于 \(\mathbb{Q}\)，我们已经有三种绝对值：\(|\cdot|_{\infty}\) ，\(|\cdot|_0\)，\(|\cdot|_p\)，下面定理告诉我们， \(\mathbb{Q}\) 本质上（在等价的意义下）绝对值只有这三种。
Ostrowski 定理
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