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微分方程 1.1 基本概念

2021-07-21 14:33:03 作者：互联网

微分方程
1.1 基本概念
微分方程是描述系统的状态随时间和空间演化的数学工具。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域也有广泛应用。

具体来说，微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。

微分方程按自变量个数分为：只有一个自变量的常微分方程（Ordinary Differential Equations）和包含两个或两个以上独立变量的偏微分方程（Partial Differential Equations）。
微分方程按阶数分为：一阶、二阶、高阶，微分方程的阶数取决于方程中最高次导数的阶数。
微分方程还可以分为：（非）齐次，常（变）系数，（非）线性，初值问题/边界问题...
以上内容看看就算了，看多了就吓跑了。

1.2 微分方程的数学建模
微分方程的数学建模其实并不复杂，基本过程就是分析题目属于哪一类问题、可以选择什么微分方程模型，然后如何使用现有的微分方程模型建模。

在数学、力学、物理、化学等各个学科领域的课程中，针对该学科的各种问题都会建立适当的数学模型。在中学课程中，各学科的数学模型主要是线性或非线性方程，而在大学物理和各专业的课程中，越来越多地出现用微分方程描述的数学模型。

数学建模中的微分方程问题，通常还是这些专业课程中相对简单的模型，专业课程的教材在介绍一个模型时，往往都做了非常详细的讲解。只要搞清楚问题的类型、选择好数学模型，建模和求解并不是很难，而且在撰写论文时对问题背景、使用范围、假设条件、求解过程有大量现成的内容可以复制参考。

小白之所以害怕，一是看到微分方程就心里发怵，二是缺乏专业背景，不知道从哪里查资料、不能判断问题的类型、不知道选择什么模型、不善于从题目内容得出模型参数，也不知道如何编程求解。所以，老师说，一看这就是××问题，显然就可以用××模型。小白说，我们还是换 B题吧。

本系列将会从简单的微分方程模型入手，重点介绍微分方程数值解法的编程实现，并通过分析问题、建立模型的案例帮助小白树立信心和动力。

希望你在学习本系列之后，会发现微分方程模型是数学建模中最容易的题型：模型找教材，建模找例题，求解有例程，讨论有套路，论文够档次。

1.3 微分方程的数值解法
在学习专业课程时，经常会推导和求解微分方程的解析解，小白对微分方程模型的恐惧就是从高等数学“微分方程”开始，经过专业课的不断强化而形成的。实际上，只有很少的微分方程可以解析求解，大多数的微分方程只能采用数值方法进行求解。

微分方程的数值求解是先把时间和空间离散化，然后将微分化为差分，建立递推关系，然后反复进行迭代计算，得到任意时间和空间的值。

如果你还是觉得头晕目眩，我们可以说的更简单一些。建模就是把专业课教材上的公式抄下来，求解就是把公式的参数输入到 Python 函数中。

我们先说求解。求解常微分方程的基本方法，有欧拉法、龙格库塔法等，可以详见各种教材，撰写数模竞赛论文时还是可以抄几段的。本文沿用“编程方案”的概念，不涉及这些算法的具体内容，只探讨如何使用 Python 的工具包、库函数，零基础求解微分方程模型。

我们的选择是 Python 常用工具包三剑客：Scipy、Numpy 和 Matplotlib：

Scipy 是 Python 算法库和数学工具包，包括最优化、线性代数、积分、插值、特殊函数、傅里叶变换、信号和图像处理、常微分方程求解等模块。有人介绍 Scipy 就是 Python 语言的 Matlab，所以大部分数学建模问题都可以用它搞定。
Numpy 提供了高维数组的实现与计算的功能，如线性代数运算、傅里叶变换及随机数生成，另外还提供了与 C/C++ 等语言的集成工具。
Matplotlib 是可视化工具包，可以方便地绘制各种数据可视化图表，如折线图、散点图、直方图、条形图、箱形图、饼图、三维图，等等。
顺便说一句，还有一个 Python 符号运算工具包 SymPy，以解析方式求解积分、微分方程，也就是说给出的结果是微分方程的解析解表达式。很牛，但只能求解有解析解的微分方程，所以，你知道就可以了。

SciPy 求解常微分方程（组）
2.1 一阶常微分方程（组）模型
给定初始条件的一阶常微分方程（组）的标准形式是：

⎧⎩⎨dydt=f(y,t)y(t0)=y0
式中的 y 在常微分方程中是标量，在常微分方程组中是数组向量。

2.2 scipy.integrate.odeint() 函数
SciPy 提供了两种方式求解常微分方程：基于 odeint 函数的 API 比较简单易学，基于 ode 类的面向对象的 API 更加灵活。

**scipy.integrate.odeint() **是求解微分方程的具体方法，通过数值积分来求解常微分方程组。在 odeint 函数内部使用 FORTRAN 库 odepack 中的 lsoda，可以求解一阶刚性系统和非刚性系统的初值问题。官网介绍详见： scipy.integrate.odeint — SciPy v1.6.3 Reference Guide 。

scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0, tfirst=False)
odeint 的主要参数：

求解标准形式的微分方程（组）主要使用前三个参数：

func: callable(y, t, …) 　　导数函数 f(y,t) ，即 y 在 t 处的导数，以函数的形式表示
y0: array：　　初始条件 y0，对于常微分方程组 y0 则为数组向量
t: array：　　求解函数值对应的时间点的序列。序列的第一个元素是与初始条件 y0 对应的初始时间 t0；时间序列必须是单调递增或单调递减的，允许重复值。
其它参数简介如下：

args: 向导数函数 func 传递参数。当导数函数 f(y,t,p1,p2,..) 包括可变参数 p1,p2.. 时，通过 args =(p1,p2,..) 可以将参数p1,p2.. 传递给导数函数 func。argus 的用法参见 2.4 中的实例2。

Dfun: func 的雅可比矩阵，行优先。如果 Dfun 未给出，则算法自动推导。

col_deriv: 自动推导 Dfun的方式。

printmessg: 布尔值。控制是否打印收敛信息。

其它参数用于控制求解算法的参数，一般情况可以忽略。

odeint 的主要返回值：

y: array 　　数组，形状为 (len(t),len(y0)，给出时间序列 t 中每个时刻的 y 值。

实例1：Scipy 求解一阶常微分方程
3.1 例题 1：求微分方程的数值解
⎧⎩⎨dydt=sin(t2)y(−10)=1

3.2 常微分方程的编程步骤
以该题为例讲解 scipy.integrate.odeint() 求解常微分方程初值问题的步骤：

导入 scipy、numpy、matplotlib 包；

定义导数函数 f(y,t)=sin(t2) ；

定义初值 y0 和 y 的定义区间 [t0, t]；

调用 odeint() 求 y 在定义区间 [t0, t] 的数值解。

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来源： https://www.cnblogs.com/fewfw/p/15039311.html