【luogu P4777】【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）（数论）
作者：互联网
【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
题目链接：luogu P4777
题目大意
给你一些条件，要你找最小的 x，使得满足它被一些数取模的答案是要求的数。
模数不一定互质。
思路
不难想到，前面我们是将式子的答案选可以加载一起的直接加在一起。
但你不难想到你搞逆元的时候可能会没有逆元，因为模数与你要逆元的数可能并不互质。
那要怎么搞呢？我们重新考虑如何合并两条式子：
x
≡
c
1
(
m
o
d
m
1
)
x\equiv c_1(\bmod\ m_1)
x≡c1(mod m1)
x
≡
c
2
(
m
o
d
m
2
)
x\equiv c_2(\bmod\ m_2)
x≡c2(mod m2)
那首先很显然的是我们设
M
=
lcm
(
m
1
,
m
2
)
M=\text{lcm}(m_1,m_2)
M=lcm(m1,m2)，如果有解，那一定是合并成这样：
x
≡
c
3
(
m
o
d
M
)
x\equiv c_3(\bmod\ M)
x≡c3(mod M)
那我们继续设
t
=
gcd
(
m
1
,
m
2
)
t=\gcd(m_1,m_2)
t=gcd(m1,m2)，那根据我们可以得到这两个式子：
c
3
=
c
1
+
a
×
m
1
(
0
⩽
a
<
M
/
m
1
)
c_3=c_1+a\times m_1(0\leqslant a< M/m_1)
c3=c1+a×m1(0⩽a<M/m1)
c
3
=
c
2
+
b
×
m
2
(
0
⩽
b
<
M
/
m
2
)
c_3=c_2+b\times m_2(0\leqslant b< M/m_2)
c3=c2+b×m2(0⩽b<M/m2)
（后面
a
a
a 的范围后面的限制
M
/
m
1
M/m_1
M/m1 也可以写成
m
2
/
t
m_2/t
m2/t）
（
b
b
b 也同理）
那接着两个式子相等：
c
1
+
a
×
m
1
=
c
2
+
b
×
m
2
c_1+a\times m_1=c_2+b\times m_2
c1+a×m1=c2+b×m2
c
2
−
c
1
=
a
×
m
1
−
b
×
m
2
c_2-c_1=a\times m_1-b\times m_2
c2−c1=a×m1−b×m2
因为
t
=
gcd
(
m
1
,
m
2
)
t=\gcd(m_1,m_2)
t=gcd(m1,m2) 所以
a
×
m
1
−
b
×
m
2
a\times m_1-b\times m_2
a×m1−b×m2 只能表示
t
t
t 的倍数。（
a
,
b
a,b
a,b 是你要求的）
所以有解的条件就是
t
∣
(
c
2
−
c
1
)
t|(c_2-c_1)
t∣(c2−c1)
那接着你想，你要把
a
,
b
a,b
a,b 其中一个消掉，就可以求另一个了。
那要怎么消呢？用取模。
你会发现前面有一个
a
<
M
/
m
1
a<M/m_1
a<M/m1，而且它也可以写成
m
2
/
t
m_2/t
m2/t。
那你发现你把前面的式子都除以
t
t
t：
(
c
2
−
c
1
)
/
t
=
a
×
m
1
/
t
−
b
×
m
2
/
t
(c_2-c_1)/t=a\times m_1/t-b\times m_2/t
(c2−c1)/t=a×m1/t−b×m2/t
然后再对
m
2
/
t
m_2/t
m2/t 取模，就有了
(
c
2
−
c
1
)
/
t
≡
a
×
m
1
/
t
(
m
o
d
(
m
2
/
t
)
)
(c_2-c_1)/t\equiv a\times m_1/t(\bmod\ (m_2/t))
(c2−c1)/t≡a×m1/t(mod (m2/t))
那就只剩
a
a
a 了，我们搞一下，就有了：
a
=
inv
(
m
1
/
t
,
m
2
/
t
)
×
(
c
2
−
c
1
)
/
t
m
o
d
(
m
2
/
t
)
a=\text{inv}(m_1/t,m_2/t)\times(c_2-c_1)/t\bmod(m_2/t)
a=inv(m1/t,m2/t)×(c2−c1)/tmod(m2/t)
然后把 a a a 带入回 c 3 = c 1 + a × m 1 c_3=c_1+a\times m_1 c3=c1+a×m1 就可以了。
然后由于数据规模是
1
0
18
10^{18}
1018，用乘法都会爆炸，那我们就用黑科技并不龟速的龟速乘。
然后不开 long long 见祖宗——我 是 傻 逼。
代码
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int n;
ll a[100001], b[100001];
ll ksc(ll x, ll y, ll mo) {
x %= mo;
y %= mo;
ll c = (long double)x * y / mo;
long double re = x * y - c * mo;
if (re < 0) re += mo;
else if (re >= mo) re -= mo;
return re;
}
ll gcd(ll x, ll y) {
if (!y) return x;
return gcd(y, x % y);
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
if (!b) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
ll re = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a / b) * x;
return re;
}
ll inv(ll a, ll mo) {
ll x, y;
exgcd(a, mo, x, y);
x = (x % mo + mo) % mo;
return x;
}
int main() {
// freopen("read.txt", "r", stdin);
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld %lld", &a[i], &b[i]);
for (int i = 2; i <= n; i++) {
ll t = gcd(a[1], a[i]);
ll M = a[i] / t * a[1];
ll A = ksc(inv(a[1] / t, a[i] / t), (b[i] - b[1]) / t, a[i] / t);
b[1] = ((b[1] + ksc(A, a[1], M)) % M + M) % M;
a[1] = M;
}
printf("%lld", b[1]);
return 0;
}
标签：P4777,gcd,luogu,ll,times,EXCRT,m1,m2,mo 来源： https://blog.csdn.net/weixin_43346722/article/details/118873415