浅谈时间复杂度

在此之前，先了解他们是如何产生的。学习数据结构与算法本身就是为了让代码可以高效运行，更省存储空间。而考究算法的质量就用到了时间、空间复杂度。

一、时间复杂度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或「时间频度」。记为T(n)。

时间频度T(n)中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律，为此我们引入时间复杂度的概念。算法的时间复杂度也就是算法的时间度量，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称「时间复杂度」。

这种表示方法我们称为「 大O符号表示法」，又称为渐进符号，是用于描述函数渐进行为的数学符号

T(n)不同，但时间复杂度可能相同。如：T(n) = n²+3n+2，T(n) = n²+5n+8 ，T(n)不同，但时间复杂度都为O(n²)

计算时间复杂度的方法

• 用常数1(代表常数项的复杂度为O(1))来代替运行时间中的所有加法常数
• 修改后的运行次数函数中，只保留了最高阶项
• 去除最高阶项的系数

常见的的时间复杂度(按照按照耗费的时间由低到高排序)：

描述	时间复杂度
常数阶	O(1)
对数阶	O(logn)
线性阶	O(n)
线性对数阶	O(nlogn)
平方阶	O(n²)
立方阶	O(n³)
k次方阶	O(nk)
指数阶	O(2n)
阶乘阶	O(n!)

解析

1. O(1)

   ​ O(1)表示常量阶时间复杂度，并非只执行一行代码。代码的的执行时间不是随着n的增大而增大的，这样的代码的时间复杂度都为O(1)。一般来讲算法中不存在循环、递归，即使代码有很多行，时间复杂度依然为O(1)。

   public static void main(String[] args){
           int a = 2;//执行一次
           int b = 3;//执行一次
           int sum = a+b;//执行一次
   }
   

   哈希算法就是典型的O(1)时间复杂度，无论数据规模多大，都可以在一次计算后找到目标（不考虑冲突的话）

2. O(n)

   ​ O(n)表示线性阶时间复杂度,大部分遍历就是线性级算法。

   public static void main(String[] args){
   	int sum = 0;//执行1次
   	int n = 100;//1次
   	for(int i =1; i<=100 ; i++){
   		sum +=i; //执行n次
   	}
   }
   

3. O(log₂n)

   ​ O(log₂n)表示对数阶时间复杂度,如下代码，在while循环里面，每次都将 count 乘以 2，乘完之后，count 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，count 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log₂n也就是说当循环 log₂n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log₂n) 。 O(log₂n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，count = count * 3 ，则是 O(log₂n) 。

   int count = 1;
   while (count < n){    
       count = count * 2; /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
   }
   

4. O(nlog₂n)

   ​ 线性对数阶O(nlogN) 其实就是将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

   for(i = 1 ; i < n ; i++){
       int j = 1;
       while(j < n){
           j = j * 2 ;
       }
   }
   

5. O(n²)

   ​ 表示一个算法的性能将会随着输入数据的增长而呈现出二次增长。最常见的就是对输入数据进行嵌套循环。如果嵌套层级不断深入的话，算法的性能将会变为立方阶O(n³)、O(n⁴)、O(n^k)以此类推

   for(int i=0;i<n;i++){   // 循环次数为 n
         for(int j=0;j<n;i++){// 循环次数为 n
         //复杂度为O(1)的算法
            ... 
         }
     }
   

6. O(2ⁿ)

   ​ 表示一个算法的性能会随着输入数据的每次增加而增大两倍，典型的方法就是裴波那契数列的递归计算实现

   public int getFbnqNum(int n){
       if (n <= 1){
           return n;
       }
       return getFbnqNum(n-1)+getFbnqNum(n-2);
   }
   

二、常用排序算法对比

排序算法	平均时间复杂度	最好情况	最坏情况	空间复杂度	稳定性
冒泡排序	O(n2)	O(n)	O(n2)	O(1)	稳定
选择排序	O(n2)	O(n2)	O(n2)	O(1)	不稳定
插入排序	O(n2)	O(n)	O(n2)	O(1)	稳定
希尔排序	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(n2)	O(1)	不稳定
归并排序	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(n)	稳定
快速排序	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(n2)	O(nlog2n)	不稳定
堆排序	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(1)	不稳定
计数排序	O(n+k)	O(n+k)	O(n+k)	O(n+k)	稳定
桶排序	O(n+k)	O(n)	O(n2)	O(n+k)	稳定
基数排序	O(n*k)	O(n*k)	O(n*k)	O(n+k)	稳定

(k:代表桶)

 

标签：浅谈,int,复杂度,nlog2n,算法,时间,n2
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