线性基

线性基

定义

线性基

一个由若干数组成的集合\(S\)，定义它的线性基为最小的一个集合\(T\)使得\(S\)和\(T\)能够异或出的值域(集合)相同

张成

一个集合\(S\),随意取若干个数异或，能够凑出的数的集合称为集合\(S\)的张成，表示为\(span(S)\)

线性相关

如果一个集合内有某个数满足：去除这个数后的集合可以凑出这个数。那么称集合\(S\)线性相关。否则为线性无关

求法

将每个数看做一个01串，按位操作，从高到低，在没加入线性基的数中找，看有没有当前位为1的，如果有，将其加入线性基中，并用现在加入线性基中的这个数 消去 原本线性基中其他数当前位的1(高斯消元)。如果没有，跳过当前位直接对下一位进行操作

这样消出的线性基满足每一列最多只有一个1，并且从前往后，线性基中每个数的第一个1所在位置依次右移,即前面的数严格大于后面的数。
类似于这样的形式：
\[1001010101\\ 0101010101\\ 0010110101\\ 0000011010\\ .\\ .\\ .\\ \]

证明

考虑这样为什么这样求出的线性基是合法的。(不知道怎么证这样一定是最小的)
由线性基的定义可得，如果\(S\)集合中的每个数，都可以被\(T\)集合表示出，那么这组线性基一定合法，因此我们只需要考虑能否凑出\(S\)集合即可。
对于\(S\)集合中的任意一个数的任意一位，如果这一位无法被凑出，意味着这一位是1，但线性基中却没有这一位是1的数，但如果这样，这个无法被凑出的数就应该在当时被加入线性基中，所以这样的数不存在。

你可能会有这样的疑问：是否可能有一个数因为线性基中某几位被捆绑在一起而无法凑出？
考虑几个位为什么会捆绑在一起？因为一开始加入的某个数在这几位上是1，但后面却没有在这一位上是1的数(消去后)。
一个数如果会因为某几位被捆绑而无法凑出，只可能是实际上是10,但只能凑出11(线性基中只有11，没有1x和01).但这种情况是不可能的,因为当我们将11加入线性基时，由于10的首位是1，所以11会对10进行消数的操作，使得10变为01，这时，第二位是1的数是存在的，所以11不会被捆绑在一起。

性质/用法

性质1

1，假设原来的集合大小为\(|S|\),线性基大小为\(|T|\),对于任意一个数\(x\)，如果它可以被线性基中的数表示出来，那么从集合\(S\)中选若干个数\(xor\)出\(x\)的方案数为\(2^{|S| - |T|}\)。
证明：考虑\(|S| - |T|\)实际上就是集合中没有加入线性基中的数的个数，我们在这个集合中任意选一些数的方案数为\(2^{|S| - |T|}\)，而每一种取法异或出来的数，都可以由线性基中的某一个确定的方案凑出。将这2个相同的数异或，可以得到\(0\),因此我们有\(2^{|S| - |T|}\)种凑出\(0\)的方案。
因此对于任意一个数，如果我们可以用线性基凑出，我们可以拿它和凑\(0\)的方案进行异或，所以肯定也有\(2^{|S| - |T|}\)种方案，否则肯定就凑不出了。

用法1

线性基可以判断任意一个数是否可以被集合\(S\)内的数凑出。

从高位开始，依次操作，如果当前位为1，那么异或上线性基中当前位为1的数，否则不操作。最后判断结果是否为0，为0即可以凑出(一个数在异或后变成了0，肯定是因为这个数异或上了它自己)

由此我们可以引申出另一个经典用法：用线性基来求一个集合的最大异或和。
从高位开始贪心，每次检查异或上线性基的当前位是否可以使得答案变大，如果可以，就异或，否则跳过。

求最大异或和的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
#define AC 55
#define LL long long

int n, tot;
LL maxn, ans;
LL f[AC];

inline LL read()
{
    LL x = 0;char c = getchar();
    while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x;
}

void pre()
{
    n = read(), maxn = 1LL << 50;
    for(R i = 1; i <= n; i ++, maxn = 1LL << 50) 
    {
        LL x = read();
        for(R j = 50; ~j; j --, maxn >>= 1)
        {
            if(!(x & maxn)) continue;
            if(!f[j]) {f[j] = x; break;}
            else x ^= f[j];
        }
    }
}

void work()
{
    for(R i = 51; ~i; i --)
        if((ans ^ f[i]) > ans) ans ^= f[i];
    printf("%lld\n", ans);
}

int main()
{
    //freopen("in.in", "r", stdin);
    pre();
    work();
//  fclose(stdin);
    return 0;
}

标签：11,基中,凑出,集合,异或,线性
来源： https://www.cnblogs.com/ww3113306/p/10342527.html