poj 1286 Necklace of Beads 题解

传送门

【题意】

给定 \(n\) 个空位待填的圆环，每个空位可以填入红、蓝、绿任一颜色的珠子。问不同构的方案数为多少？

题目认为旋转、沿坐标轴翻转后相同的两个方案是同构的。

\(n<24\)

【分析】

比较裸的 Polya 定理

旋转和翻转，以及这两个变换的运算构成一个群 \(G\) 。

而原本的翻转只能沿坐标轴翻转，但我们考虑先将圆环旋转 \(-\theta\) 度的变换 \(rot_{-\theta}\)，再沿 \(x\) 轴翻转 \(sym_0\) ，最后再旋转 \(\theta\) 度 \(rot_{\theta}\) ，则等价于圆环沿 \(\theta\) 的这条极径进行了翻转 \(sym_{\theta}\)。即 \(sym_{\theta}=rot_{\theta}\circ sym_{0}\circ sym_{-\theta}\) 。

由于 \(rot_{\theta}, sym_{0}, rot_{-\theta}\in G\)， 根据运算的封闭性，\(sym_{\theta}\in G\) 。即群内包括了任意角度的旋转，和任意角度的翻转。

现考虑到旋转角度只有 \(k\cdot {2\pi\over n}, k\in\{0, 1, 2, \cdots, n-1\}\) 时才有意义，翻转角度只有 \(k\cdot {\pi\over n}, k\in\{0, 1, 2, \cdots, 2n-1\}\) 时才有意义

当旋转角度为 \(k\cdot {2\pi\over n}\) 时，构成置换 \(\left( \begin{matrix} 1&2&3&\cdots &n-k&n-k+1&\cdots &n \\\\ k+1&k+2&k+3&\cdots&n&1&\cdots &k \end{matrix} \right)\)，可拆解成 \(\gcd(k, n)\) 个不可拆解的置换

标签：Beads,题解,sym,旋转,cdots,Necklace,theta,rot,翻转
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