对于M段最小和问题的拙见

最近在做算法设计课设，遇见了一道动态规划的例题
题目：给定n个整数组成的序列，现在要求将序列分割为m段，每段子序列中的数在原序列中连续排列。如何分割才能使这m段子序列的和的最大值达到最小？

样例输入
1 1
10
样例输出
10
样例输入
9 3
9 8 7 6 5 4 3 2 1
样例输出
17

解：
最小m段和问题：
使用dp[i][j]放置将前i个数分成j段的最小最大值
所以dp[i][1]就是前i个数的和，dp[i-1][1]+a[i];
当j>1的时候，加定前k个数为j-1段，从k~i为第j段
所以前j-1段的最小最大值为：dp[k]j-1
最后一段为：dp[i][1]-dp[k]1
这两个数种取最大值，当所有分段情况完成之后，选出最小值作为dp[i][j]的值
所以递推公式为：
dp[i][j] = min{max{dp[i][1]-dp[k][1],dp[k][j-1]}}

题目理解：可以看作是清洁工问题，一共有3个清洁工，共清洁5个房间，每个房间用时分别为5，4，3，2，1每个清洁工只能清洁自己和相邻的房间，不能跳着清理（比如既清洁5又清洁1，这是不允许的），合理分配每个清洁工清洁的房间，然总清洁时间最少，最佳分配结果为 5|4|3，2，1 派一个清洁工清洁5，派一个清洁工清洁4，再派一个清洁工去清洁3，2，1这样总清洁时间最小为6（多线程同时清洁，最长的清洁时间既为总清洁时间）

代码如下：

private static int [] numbers;
private static int [][]f;
private static final int MAX=100000;
public static void solve(int n, int m){//算法主要方法
	int i,j,k,temp,max;
	for (i=1;i<=n;i++){
		f[i][1]=f[i-1][1]+numbers[i];//依次在f[i][1]存入前i个数的和
	}
	for (j=2;j<=m;j++){//根据分段次数进行划分，从划分两段开始
		for (i=j;i<=n;i++){
			for (k=1,temp=MAX;k<i;k++){
				max=max(f[i][1]-f[k][1],f[k][j-1]);//选出前j-1段与最后一段最大的
				if(temp>max)
					temp=max;//每次划分完后选小的段和更新
			}
			f[i][j]=temp;
		}
	}
}
public  static int max(int a,int b){//比较大小
	return Math.max(a, b);
}
public static void main(String[] args) {
	Scanner sc=new Scanner(System.in);
	while (true){
		System.out.println("前请输入序列长度：");
		int n=sc.nextInt();//输入n，序列长度
		System.out.println("请输入要分成的段数：");
		int m=sc.nextInt();//输入m，要分成的段数
		if(n<m||n==0){//如果输入的序列长度小于要分成的段数或者序列长度为0都为输入有误
			System.out.println("输入有误");
			return;//输入有误时终止运行
		}
		numbers=new int[n+1];//按照序列长度构造整数数组
		f=new int[n+1][m+1];
		System.out.println("请输入该序列：");
		for (int i=1;i<=n;i++){
			numbers[i]=sc.nextInt();//依次输入整数
		}
		solve(n,m);
		System.out.println(f[n][m]);
	}
}

这样统一看肯定不会特别的明显，其中最重要的就是solve()方法，它是此问题的解决的关键
我们以输入n=5，m=3，整数序列为5，4，3，2，1为举例来看
在属性中定义的f[n][m]大小的数组用来储存每次分割的最小最大值，solve()方法中
for (i=1;i<=n;i++){ f[i][1]=f[i-1][1]+numbers[i];//依次在f[i][1]存入前i个数的和 }
在f[n][m]第一行依次存入前i个数的和
\ 1 2 3 4 5
1 5 9 12 14 15 前i个数的和
2 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0
剩下未填入的为默认初始值为0
for (j=2;j<=m;j++){//根据分段次数进行划分，从划分两段开始 for (i=j;i<=n;i++){ for (k=1,temp=MAX;k<i;k++){ max=max(f[i][1]-f[k][1],f[k][j-1]);//选出前j-1段与最后一段最大的 if(temp>max) temp=max;//每次划分完后选小的段和更新 } f[i][j]=temp; } }
每次分割时i决定参分割的数字个数，k决定前几个数字被分割，例如j=2,i=2,k=1时，分割情况是这样5|4||3，2，1，其中||右边的数字不参与分割，例如j=2，i=4，k=2时，分割情况是这样的5，4|3，2||1
其中最外层循环控制分割次数，从二次分割依次到m次分割，第二层循环是按照前几个参与分割的数目不同列出所有分割的结果，第三层循环是将序列分为两段，一个是前j-1段，一个是第j段，找出最大值，每次划分后选出这些最小的最大值并更新temp，在第二层循环的末尾将temp储存在该划分下面
\ 1 2 3 4 5
1 5 9 12 14 15 前i个数的和 未分割j=1
2 0 5 7 9 9 一次分割的 分割一次j=2
3 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0
此时，将二次分割的储存在f[n][m]中，若进行多次分割也是在这个的基础上进行分割，且使用数据只用查询f[n][m]即可，类似于动态规划的备忘录结构
\ 1 2 3 4 5
1 5 9 12 14 15 前i个数的和 未分割j=1
2 0 5 7 9 9 一次分割的 分割一次j=2
3 0 0 5 5 6 二次分割的 分割两次j=3
4 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0
此时分段段数最小最大值为f[n][m]=6
这种做法只适用数据较小的情况，当数据较大时应该采用二分搜索查找的方式，这就是后话了。

标签：分割,temp,对于,拙见,最大值,清洁,最小,int,dp
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