天工开数——因式分解(二）

昨天我们对于因式分解有了一个基本的了解

并且简单的学习了提公因式法和公式法的基本操作与流程

这里感谢黄瑞铼同学的审核以及大家的阅读

今天我们继续深入探讨提公因式法与公式法中一些技巧与原则

提公因式法

因式分解的学习有一个非常重要的原则叫做“一提二代三分组”

其中“一提”值得就是提取公因式

可见提取公因式在我们因式分解中的重要作用与意义

而在我们提取公因式的过程中

往往需要遵循很多的规则

这样才能使得提取出来的公因式准确无误

一次提净

首先是“一次提净”

指的就是我们最好把公因式一次性都提取出来

例如提取公因式

12a²x³+6abx²y-15acx²

我们观察所有的式子

发现他们的公因式为3ax²

如果我们只提取了3a或3ax

剩下的还得再次提取

容易出错并且十分麻烦

不如直接一次提取干净

如果同学们一开始不熟悉

可以先写成

12a²x³+6abx²y-15acx²

=3ax²·4ax+3ax²·2by+3ax²·(-5c)

=3ax²·(4ax+2by-5c)

一步一步操作，等熟练之后就可以省略中间的步骤

整体带入

前面我们讲了提取公因式要一次提干净

那么对于如下的式子

(x+y)²+2x+2y

观察这个式子好像并没有公因式

但如果我们仔细观察会发现里面有一个式子出现了多次

我们可以把原式写成

(x+y)²+2(x+y)

这样我们就能发现公因式了

是x+y

故原式=(x+y+2)(x+y)

可能写成上述的样子大家还能一看出来

但如果我把完全平方拆掉

写成

x²+2xy+2x+y²+2y

甚至写成

2x(x+2)+2y(y+2)+(x+y)²-(x-y)²

这样大家恐怕就很难见到他的真面目了

当然

这个要使用到我们后面讲的公式法

这里不多赘述

到后面我们再来研究

切勿漏“1”

什么叫切勿漏1

例如因式分解

(x+y)²+a(x+y)⁴+(x+y)

=(x+y)[(x+y)+a(x+y)³]

发现问题了吗

最后一项提取公因式后还有一个1不能漏

故原式=(x+y)[(x+y)+a(x+y)³+1]

切记！

化分为整

这里的化分为整主要针对的是分数的运算

例如分解因式

3a³b²-6a²b³+27ab/4

对于这样含有分数的式子

我们最好把每项都除以1/4以避免分数运算

这个过程实质上就是通分的过程

公式法

利用公式法进行因式分解所要用到的主要公式有以下几个

1. a²-b²=(a+b)(a-b)
2. a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
3. a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
4. a²+2ab+b²=(a+b)²
5. a²-2ab+b²=(a-b)²
6. a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³
7. a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³

平方差公式

在这七个公式中

平方差公式也就是第一个公式用的是最多的

例如：因式分解9(m-n)²-4(m+n)²

原式=[3(m-n)]²-[2(m+n)]²

=[3(m-n)+2(m+n)] [3(m-n)+2(m+n)]

=(5m-n)(m-5n)

我们在利用平方差公式的时候常常会与提取公因式相结合

例如

因式分解75x⁶y-12x²y⁵

原式=3x²y(25x⁴-4y⁴)

=3x²y(5x²+2y²)(5x²-2y²)

多清晰啊（自带口音）

立方和与立方差

对于立方和和立方差公式

我们这里需要记住它的两个公式

再结合提取公因式等

例题：因式分解9x⁵-72x²y³

原式=9x²[x³-(2y)³]

=9x²(x-2y)(x²+2xy+4y²)

完全平方

完全平方公式同学们比较熟悉

但在因式分解中考的往往是较为一般的二次三项式

通常用十字相乘法解决

这个到后面我们会详细研究

那么对于如(a+b+c)²之类的式子，我们仅需记住它的公式即可

例如：因式分解

4a²+9b²+9c²-18bc-12ac+12ab

原式=(2a+3b-3c)²

标签：公因式,提取,因式分解,公式,开数,天工,我们,式子
来源： https://www.cnblogs.com/ZhuChao1999/p/14962498.html