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最优Delta对冲：复刻

作者：互联网

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文献笔记

参考文献
[1] Hull, J. , & White, A. . (2017). Optimal delta hedging for options. Social Science Electronic Publishing, 82(sep.), págs. 180-190.
[2] Ahmad, R., & Wilmott, P. (2005). Which free lunch would you like today, sir?: Delta hedging, volatility arbitrage and optimal portfolios. Wilmott, 64-79.

1.数学符号定义

符号含义备注
f期权价值 f B S f_{BS} fBS​：基于BS公式计算出的期权理论价值； Δ f \Delta f Δf 期权价格的变化量
S期权标的资产价格 Δ S \Delta S ΔS 标的资产价格的变化量
δ \delta δ期权的Delta值 Δ B S \Delta_{BS} ΔBS​：基于BS公式计算出的期权Delta值； Δ M V \Delta_{MV} ΔMV​：最小方差Delta
v B S v_{BS} vBS​期权的Vega值
σ \sigma σ期权波动率 σ i m p \sigma_{imp} σimp​：隐含波动率
T期权剩余到期时间

2. 最小方差Delta对冲

Ahmad, R., & Wilmott, P. (2005)的论文提到，当期权价格是根据市场价格来定的（Market to Market），出于风险管理的需要，为了避免每天收益(Profit and Loss)波动太大，出现在某一天出现较大亏损的极端情况，通常使用隐含波动率来进行delta对冲。每天收益的标准差可以写成 σ S ∣ Δ i − Δ h ∣ d t \sigma S |\Delta^i - \Delta^h| \sqrt{dt} σS∣Δi−Δh∣dt ​,可以看出对冲的delta值越接近用隐含波动率计算的delta值，收益的波动性就越小。详情可参见Delta对冲：一般形式和模拟实验。

作者提出了一种最小方差Delta的计算方法：
Δ M V = ∂ f B S ∂ S + ∂ f B S ∂ σ i m p ∂ E ( σ i m p ) ∂ S = δ B S + v B S ∂ E ( σ i m p ) ∂ S (1) \begin{aligned} \Delta_{MV} &= \frac{\partial f_{BS}}{\partial S} + \frac{\partial f_{BS}}{\partial \sigma_{imp}} \frac{\partial E(\sigma_{imp})}{\partial S} \\ &= \delta_{BS} + v_{BS}\frac{\partial E(\sigma_{imp})}{\partial S} \tag{1} \end{aligned} ΔMV​​=∂S∂fBS​​+∂σimp​∂fBS​​∂S∂E(σimp​)​=δBS​+vBS​∂S∂E(σimp​)​​(1)
可最小化 Δ f − δ M V Δ S \Delta f -\delta_{MV}\Delta S Δf−δMV​ΔS的方差。

3. 理论推导

假定期权的价格f，只受到标的资产S和隐含波动率 σ i m p \sigma_{imp} σimp​两个因素的影响(相当于没考虑Theta，Gamma等的影响)，期权的价格可表示为如下形式：
f = f B S ( S , σ i m p ) (2) f = f_{BS}(S,\sigma_{imp}) \tag{2} f=fBS​(S,σimp​)(2)

对（2）式进行泰勒展开，可以得到：
Δ f = ∂ f ∂ S Δ S + ∂ f ∂ σ i m p Δ σ i m p + O ( Δ S 2 ) = δ B S Δ S + v B S Δ σ i m p + ϵ (3) \begin{aligned} \Delta f &= \frac{\partial f}{\partial S} \Delta S + \frac{\partial f}{\partial \sigma_{imp}} \Delta \sigma_{imp} +O(\Delta S^2) \\ &= \delta_{BS} \Delta S + v_{BS}\Delta \sigma_{imp} +\epsilon \tag{3} \end{aligned} Δf​=∂S∂f​ΔS+∂σimp​∂f​Δσimp​+O(ΔS2)=δBS​ΔS+vBS​Δσimp​+ϵ​(3)
等式(3)的两边同时减去 δ M V Δ S \delta_{MV} \Delta S δMV​ΔS,可以得到
Δ f − δ M V Δ S = ( δ B S − δ M V ) Δ S + v B S Δ σ i m p + ϵ (4) \begin{aligned} \Delta f - \delta_{MV} \Delta S = (\delta_{BS} - \delta_{MV}) \Delta S + v_{BS}\Delta \sigma_{imp} +\epsilon \tag{4} \end{aligned} Δf−δMV​ΔS=(δBS​−δMV​)ΔS+vBS​Δσimp​+ϵ​(4)

等式（4）两边同时求关于 Δ S \Delta S ΔS的条件期望可以得到：

这一步我是真的迷惑

δ M V = δ B S + v B S E ( Δ σ i m p ) Δ S + E ( ϵ ) Δ S (5) \begin{aligned} \delta_{MV} = \delta_{BS} + v_{BS} \frac{E(\Delta \sigma_{imp}) }{\Delta S}+\frac{E(\epsilon) }{\Delta S} \tag{5} \end{aligned} δMV​=δBS​+vBS​ΔSE(Δσimp​)​+ΔSE(ϵ)​​(5)

当 Δ S \Delta S ΔS趋近于0的时候，最后一项是无穷小（因为 ϵ = O ( Δ S 2 ) \epsilon = O(\Delta S^2) ϵ=O(ΔS2),是关于 Δ S \Delta S ΔS的无穷小），因此可以写成：
δ M V = δ B S + v B S E ( Δ σ i m p ) Δ S (6) \begin{aligned} \delta_{MV} = \delta_{BS} + v_{BS} \frac{E(\Delta \sigma_{imp}) }{\Delta S} \tag{6} \end{aligned} δMV​=δBS​+vBS​ΔSE(Δσimp​)​​(6)

作者通过式子（6）和不同的期权数据对 δ M V \delta_{MV} δMV​进行估计发现， δ B S − δ M V \delta_{BS} - \delta_{MV} δBS​−δMV​ 与期权剩余到期时间的相关性不大，并且大概是 δ B S \delta_{BS} δBS​的二次函数。并且对于欧式期权来说， v B S = S T N ′ ( d 1 ) e − q t , d 1 = N − 1 ( δ B S e q t ) v_{BS} = S \sqrt{T} N'(d1) e^{-qt}, d1= N^{-1}( \delta_{BS}e^{qt}) vBS​=ST ​N′(d1)e−qt,d1=N−1(δBS​eqt)。可以得到 v B S = S T N ′ ( N − 1 ( δ B S e q t ) ) e − q t v_{BS}=S \sqrt{T} N'(N^{-1}( \delta_{BS}e^{qt})) e^{-qt} vBS​=ST ​N′(N−1(δBS​eqt))e−qt，如果不存在分红，q=0，那么 v B S S T \frac{v_{BS}}{S \sqrt{T}} ST ​vBS​​ 就只依赖于 δ B S \delta_{BS} δBS​。

v B S = S T G ( δ B S ) (7) \begin{aligned} v_{BS}=S \sqrt{T} G(\delta_{BS}) \tag{7} \end{aligned} vBS​=ST ​G(δBS​)​(7)

结合式（6）和式（7），以及从期权数据中获得的信息“ δ B S − δ M V \delta_{BS} - \delta_{MV} δBS​−δMV​ 与期权剩余到期时间的相关性不大，并且大概是 δ B S \delta_{BS} δBS​的二次函数”，作者提出了一种假设形式：
δ M V = δ B S + v B S S T ( a + b δ B S + c δ B S 2 ) (8) \delta_{MV} = \delta_{BS} + \frac{v_{BS}}{S \sqrt{T}} (a+b\delta_{BS}+c\delta_{BS}^2) \tag{8} δMV​=δBS​+ST ​vBS​​(a+bδBS​+cδBS2​)(8)
我其实觉得这里的推理不太能够说服我，因为是二次函数，就定义为vega*二次函数的形式，vege跟delta的关系比较复杂。
其中a,b,c都是常数。结合式（6）和式（8）式，可以得到
E ( Δ σ i m p ) = ( a + b δ B S + c δ B S 2 ) T Δ S S (9) E(\Delta \sigma_{imp}) = \frac{(a+b\delta_{BS}+c\delta_{BS}^2)}{\sqrt{T}} \frac{\Delta S}{S} \tag{9} E(Δσimp​)=T ​(a+bδBS​+cδBS2​)​SΔS​(9)

4. 参数估计和模型评估

4.1 参数估计

如式子（8）所示，作者给出了 δ M V \delta_{MV} δMV​和 δ B S \delta_{BS} δBS​之间的关系，该式子需要估计出a，b，c三个常数的值，估计方法如下所示：
Δ f − δ B S Δ S = v B S T Δ S S ( a + b δ B S + c δ B S 2 ) + ϵ (10) \begin{aligned} \Delta f - \delta_{BS} \Delta S = \frac{v_{BS}}{ \sqrt{T}}\frac{\Delta S}{S} (a+b\delta_{BS}+c\delta_{BS}^2) +\epsilon \tag{10} \end{aligned} Δf−δBS​ΔS=T ​vBS​​SΔS​(a+bδBS​+cδBS2​)+ϵ​(10)

基于式子（9）和式子（3），可以得到等式（10），利用上式进行线性回归，即可求出a,b,c

4.2 模型评估

作者建立了一个Gain指数来评估模型的好坏，基尼指数的计算方式如下：
G a i n = 1 − S S E [ Δ f − δ M V Δ S ] S S E [ Δ f − δ B S Δ S ] (11) Gain = 1- \frac{SSE[ \Delta f - \delta_{MV} \Delta S]}{SSE[ \Delta f - \delta_{BS} \Delta S]} \tag{11} Gain=1−SSE[Δf−δBS​ΔS]SSE[Δf−δMV​ΔS]​(11)

SSE代表了平方误差和。Gain指数等于0，说明两种对冲方式的效果相当；Gain指数大于0时，说明最小方差Delta的对冲效果更好，收益的波动率较小；Gain指数小于0时，说明标准delta对冲的对冲效果更好，收益的波动率较小。

基于标准BS公式的delta对冲的对冲误差为:
ϵ B S = Δ f − δ B S Δ S (12) \epsilon_{BS} = \Delta f - \delta_{BS} \Delta S \tag{12} ϵBS​=Δf−δBS​ΔS(12)

基于最小方差delta对冲的对冲误差为：
ϵ M V = Δ f − δ M V Δ S = Δ f − δ B S Δ S − v B S T Δ S S ( a + b δ B S + c δ B S 2 ) (13) \begin{aligned} \epsilon_{MV} &= \Delta f - \delta_{MV} \Delta S \\ &= \Delta f - \delta_{BS} \Delta S -\frac{v_{BS}}{ \sqrt{T}}\frac{\Delta S}{S} (a+b\delta_{BS}+c\delta_{BS}^2) \tag{13} \end{aligned} ϵMV​​=Δf−δMV​ΔS=Δf−δBS​ΔS−T ​vBS​​SΔS​(a+bδBS​+cδBS2​)​(13)

基于式(12）和（13）,可以重写Gain指数如下所示：

G a i n = 1 − S S E ( ϵ M V ) S S E ( ϵ B S ) (14) Gain = 1- \frac{SSE(\epsilon_{MV})}{SSE(\epsilon_{BS})} \tag{14} Gain=1−SSE(ϵBS​)SSE(ϵMV​)​(14)

5. 标准对冲 VS 最小方差delta对冲

原文基于S&P 500的数据进行了研究，本实验将基于上证50 etf及其期权的数据进行探索，上证50etf期权上市于2015年2月9日，至今有六年的历史交易及行情数据。

对冲的频率为日度对冲。

5.1 数据处理

5.2 参数估计

本实验将使用过去一年的数据来估计参数a,b,c，并用来计算接下来一个月对冲的 δ M V \delta_{MV} δMV​值。

5.3

标签：frac,imp,BS,Delta,MV,delta,最优,复刻
来源： https://blog.csdn.net/weixin_41223591/article/details/118249326