一. 自然演绎介绍(natural deduction)

从本章起，小弟逐步为大家介绍自然演绎，给大家举个简单的例子(命题逻辑的自然演绎):

p , q ⊢ ( ( p ∧ q ) → r ) → r p, q ⊢ ((p ∧ q)→r)→r p,q⊢((p∧q)→r)→r

α 1    ( 1 )     p         A α_1\ \ (1)\ \ \ p \ \ \ \ \ \ \ A α1​  (1)   p       A
α 2    ( 2 )     q         A α_2\ \ (2)\ \ \ q \ \ \ \ \ \ \ A α2​  (2)   q       A
α 3    ( 3 )     ( p ∧ q ) → r         A α_3\ \ (3)\ \ \ (p ∧ q)→r \ \ \ \ \ \ \ A α3​  (3)   (p∧q)→r       A
α 1 , α 2    ( 4 )     p ∧ q         1 , 2 ∧ I α_1,α_2\ \ (4)\ \ \ p ∧ q \ \ \ \ \ \ \ 1,2∧I α1​,α2​  (4)   p∧q       1,2∧I
α 1 , α 2 , α 3    ( 5 )     r         3 , 4 → E α_1,α_2,α_3\ \ (5)\ \ \ r \ \ \ \ \ \ \ 3,4→E α1​,α2​,α3​  (5)   r       3,4→E
α 1 , α 2    ( 6 )     ( ( p ∧ q ) → r ) → r         5 [ α 3 ] → I α_1,α_2\ \ (6)\ \ \ ((p ∧ q)→r)→r \ \ \ \ \ \ \ 5[α_3]→I α1​,α2​  (6)   ((p∧q)→r)→r       5[α3​]→I

初学者肯定没看懂，没关系，后续大家会明白，但在这，小弟只是想叫大家粗略的知道什么是自然演绎. 这个自然演绎就是在证明给条件命题p,q能够有效论证出 ((p ∧ q)→r)→r 即 p , q ⊢ ( ( p ∧ q ) → r ) → r p, q ⊢ ((p ∧ q)→r)→r p,q⊢((p∧q)→r)→r这个相继式(sequent). 上述推演用了6步，也就是6行(1),(2),…,(6). 最后一行(6)即为结果((p ∧ q)→r)→r，在(6)前面有个 α 1 , α 2 α_1,α_2 α1​,α2​,这在说它利用了 α 1 α_1 α1​和 α 2 α_2 α2​的假设条件，那 α 1 α_1 α1​和 α 2 α_2 α2​的假设条件是谁，我们往上找找看会发现(1),(2)行即为 α 1 α_1 α1​和 α 2 α_2 α2​的假设条件，它们就是p,q. 也就是说第6行在解释利用了p,q我们可以得到 ((p ∧ q)→r)→r ,第(6)行最后又写了 5 [ α 3 ] → I 5[α_3]→I 5[α3​]→I,这是在说用了这个推理方法可以叫我们得到 ((p ∧ q)→r)→r. 所以以此类推第(4)行的 1 , 2 ∧ I 1,2∧I 1,2∧I和第(5)行的 3 , 4 → E 3,4→E 3,4→E均是指用了什么推理方法可以得到什么结果. 有的同学会问那 A A A是啥意思，它是指Assumtion假设，也就是假设出个结论作为条件用来叫我们可以往后接着推导，它其实用的是我们上一章讲的自身性(reflexivity),所以(1),(2),(3)都是假设出的结论，利用自身性即p⊢p,q⊢q和,(p ∧ q)→r⊢(p ∧ q)→r.大家可以看回第(6)行,最前头就是用了 α 1 α_1 α1​和 α 2 α_2 α2​的假设条件,得出结论 ((p ∧ q)→r)→r，这不就证明完这个相继式的推论是有效的.

如果没太明白，没关系，小弟就是叫大家明白这就是自然演绎，从前提推出一个结论长啥样子，就长那样子. 当然了，根据上章所述，我们可以利用"→"把条件放到结论,即依次把q,p用→放到⊢右侧得:
⊢ p → ( q → ( ( p ∧ q ) → r ) → r ) ⊢p→(q→ ((p ∧ q)→r)→r) ⊢p→(q→((p∧q)→r)→r)
我们可以通过随便赋值p,q,r(T/F)发现这是恒对. 这是个理论，所以也侧面证明了 p , q ⊢ ( ( p ∧ q ) → r ) → r p, q ⊢ ((p ∧ q)→r)→r p,q⊢((p∧q)→r)→r这个论证是有效的.当然了，大家可能发现了，那么我们是不是也可把 p , q ⊢ ( ( p ∧ q ) → r ) → r p, q ⊢ ((p ∧ q)→r)→r p,q⊢((p∧q)→r)→r中得结论逆向放回前提得， p , q , ( ( p ∧ q ) → r ) ⊢ r p, q, ((p ∧ q)→r) ⊢r p,q,((p∧q)→r)⊢r，没错是可以的.我们又创了一个新得相继式.

什么是自然推演，自然推演其实是将人类的自然逻辑思考,利用数学符号表达出来了，上例子中例如 5 [ α 3 ] → I 5[α_3]→I 5[α3​]→I这其实就是人类的逻辑,自然推演将人类的逻辑从抽象变的更实体化，容易叫我们推理，否则满脑子瞎想很容易想歪. 所以自然推演原理上和人们的逻辑推理是一模一样的，大家可能注意到了小弟用了"原理上"这个词，如果我们认为某件事一眼就能推理的出来，讲道理我们的自然推演会用更少的行或者步骤来证明出来. 如果我们认为某件事需要很长时间才能推理的出来，那么自然推演会用更多的行或者步骤来证明出来. 但其实自然推演有个不一致的现象，例如我是男生或者女生, 即⊢p∨¬p, 这个我们是不是一眼就清楚，这句话肯定是对的，因为你要么是男的要么就是女的，但自然推演却要很长的步骤推导,这就是自然推演的不一致现象，其实解释这个现象可以用相继式演算(sequent calculus),这个大家暂时不需要了解，小弟后续会解释.

好，到此，想必大家已经粗略的理解了啥是自然演绎，自然演绎就是利用数学的表达将人类的逻辑推理具象化从而根据我们人类的逻辑来推写出结论. 接下来小弟将详细的介绍下自然推演和其如何将我们的逻辑具象化从而用于推演.

二. 和(conjunction)

小弟的语言哲学其实并不是很好，严谨点说，每个连词说详细点都能写一份论文. 也希望有大佬可以纠正小弟讲错的地方.

“和"是个连接词，写作"∧”,例如:北京很冷和海南很热.在语言里，"和"的不仅仅可以连接句子们，而且可以连接名词和动词和形容词, 例如: 我和你，我可以吃和喝. 我很诚实和老实的.

在语言里，“和"的近义词还有"并且”, 例如: 我已经吃过饭了并且写完作业了.

中国语言博大精深，大家可以思考下，“而且”,“与”，“跟”, 和我们讨论的连接词"和"是否也一样? 小弟在此也不敢多讲关于这些连接词的区别，害怕误导大家. 总之要抓准一点，我们讨论的"和"是可以交换前后词或者句子的位置，使我们的大句子语义不变，举个例子: 北京很冷和海南很热,能变成海南很热和北京很冷.这个大句子表达的含义不变. 有些关于"和"近似的连接词，它其实有承接的作用，连接的俩句子或词是有顺序关系，这就不是"和"的意思了,而是有条件的含义在里面，例如: 他很帅而且学习好. “而且"连接的这俩词其实是有顺序的, 说此话的人是想强调"学习好"而不是"帅”. 如果我们交换位置得: 他学习好而且很帅. 这时这个句子得含义就不对了.

所以大家可能会发现，语言哲学其实不容易的，想将语言换成逻辑符号更是难上加难.

现在基于这个连词"和"，我们来聊聊它的逻辑，很简单, 假如你知道了A∧B，你是不是可以推出它们其中一个A或者B，例如，桌子上有苹果和香蕉，那我们是不是可以有效论证或者推出，桌子上有香蕉，或者说桌子上有苹果. 有的同学会说，我们也能推出桌子上有苹果和香蕉，对没错，其实你用的是自身性(reflexity)即A∧B⊢A∧B，根据小弟上述，那么我们也可以知道A∧B⊢A， 或者A∧B⊢B. 这其实就是逻辑上的消除(elimination), 即你推出了更少的已知. 相对而言，我们当然有逻辑上的引进(introduction),即你推出了更多的已知，例如给了你条件桌子上有苹果，桌子上有香蕉，那么你能推出桌子上有苹果和香蕉.

具体写法是:
Elimination(消除) ∧E:
X ⊢ A ∧ B X ⊢ A    ∧ E \frac{X⊢A∧B}{X⊢A}\ \ ∧E X⊢AX⊢A∧B​  ∧E
X ⊢ A ∧ B X ⊢ B    ∧ E \frac{X⊢A∧B}{X⊢B}\ \ ∧E X⊢BX⊢A∧B​  ∧E

Introduction(引进) ∧I:
X ⊢ A         X ⊢ B X ⊢ A ∧ B    ∧ I \frac{X⊢A\ \ \ \ \ \ \ X⊢B}{X⊢A∧B}\ \ ∧I X⊢A∧BX⊢A       X⊢B​  ∧I
X ⊢ A         Y ⊢ B X , Y ⊢ A ∧ B    ∧ I \frac{X⊢A\ \ \ \ \ \ \ Y⊢B}{X,Y⊢A∧B}\ \ ∧I X,Y⊢A∧BX⊢A       Y⊢B​  ∧I

上述的"—“像分子分母中间横线的东西，其实就是有效论证"⊢”,之所以这么写，这是一种树形证明写法，方便我们观察不同相继式之间的论证关系，之后我们会看到相继式演算，就用这个东西写的. 不明白? 没事，反正它就是由一个相继式（相继式作为前提）能够有效论证另外一个相继式(该相继式作为结论)的写法, 例如: X ⊢ A ∧ B X⊢A∧B X⊢A∧B可以有效论证出 X ⊢ A X⊢A X⊢A.

我们一个个看下关于"和" 消除(Elimination) 的这俩公式中 X X X，根据上章所述，这就是个条件集合，我们可以把它称作"假设"(assumption), 即由 X X X这个条件作为假设，可以有效论证出 A ∧ B A∧B A∧B. 那是不是我们推出的 A A A或者 B B B也肯定是基于这个假设条件的吧，所以写成了 X ⊢ A X ⊢A X⊢A和 X ⊢ B X ⊢B X⊢B这样子. 最后再啰嗦一句， ∧ E ∧E ∧E就是个提醒我们用了啥规则，即我们用了"和" 消除(Elimination)(∧E) 的逻辑规则.

小弟再来翻译下公式例如: X ⊢ A ∧ B X ⊢ A    ∧ E \frac{X⊢A∧B}{X⊢A}\ \ ∧E X⊢AX⊢A∧B​  ∧E，它是在说，利用和消除(∧E), 如果假设条件 X X X(assumption)可以有效论证出A∧B这个公式(formular), 那么假设条件 X X X也可以有效论证出A这个公式(formular).

现在我们来看看和引进(∧I)
小弟来翻译下 X ⊢ A         X ⊢ B X ⊢ A ∧ B    ∧ I \frac{X⊢A\ \ \ \ \ \ \ X⊢B}{X⊢A∧B}\ \ ∧I X⊢A∧BX⊢A       X⊢B​  ∧I这个法规的含义，即利用和引进(∧I)的法则，如果我们有假设条件 X X X可以有效论证 A A A, 我们也有假设条件 X X X可以有效论证 B B B，那么我们可以得到假设条件 X X X有效论证 A ∧ B A∧B A∧B.

X ⊢ A         Y ⊢ B X , Y ⊢ A ∧ B    ∧ I \frac{X⊢A\ \ \ \ \ \ \ Y⊢B}{X,Y⊢A∧B}\ \ ∧I X,Y⊢A∧BX⊢A       Y⊢B​  ∧I则是,利用和引进(∧I)的法则，如果我们有假设条件 X X X可以有效论证 A A A, 我们也有假设条件 Y Y Y可以有效论证 B B B，那么我们可以得到假设条件 X X X跟 Y Y Y一起可以有效论证 A ∧ B A∧B A∧B. 这 X X X跟 Y Y Y意味着并(∪). 切记这不是"和",和是“∧”该玩意是写在公式里的.“∧”就是个公式就是连接词.

现在我们来试试题:
p ∧ q , r ∧ s ⊢ p ∧ s p ∧ q, r ∧ s ⊢ p ∧ s p∧q,r∧s⊢p∧s
利用自然演绎的和法则来从条件p ∧ q, r ∧ s 推出 p ∧ s这个结论.

α 1    ( 1 )     p ∧ q         A α_1\ \ (1)\ \ \ p∧q \ \ \ \ \ \ \ A α1​  (1)   p∧q       A
α 2    ( 2 )     r ∧ s         A α_2\ \ (2)\ \ \ r∧s \ \ \ \ \ \ \ A α2​  (2)   r∧s       A
α 1    ( 3 )     p         1 ∧ E α_1\ \ (3)\ \ \ p \ \ \ \ \ \ \ 1∧E α1​  (3)   p       1∧E
α 2    ( 4 )     s         2 ∧ E α_2\ \ (4)\ \ \ s \ \ \ \ \ \ \ 2∧E α2​  (4)   s       2∧E
α 1 , α 2    ( 5 )     p ∧ s         3 , 4 ∧ I α_1,α_2\ \ (5)\ \ \ p∧s \ \ \ \ \ \ \ 3,4∧I α1​,α2​  (5)   p∧s       3,4∧I

首先，我们看到“⊢”左侧有俩命题条件"p ∧ q" 跟"r ∧ s". 那么我们要基于它来推，我们需要用自身性，即p ∧ q⊢p ∧ q， 和r ∧ s⊢r ∧ s，为他们当作假设条件即 α 1 α_1 α1​和 α 2 α_2 α2​,也就是说:

第一行(1) 相当于: p ∧ q ⊢ p ∧ q p ∧ q⊢p ∧ q p∧q⊢p∧q 自身性. 你们可以理解成我们的 α 1 α_1 α1​就是p ∧ q,相当于我们 X X X写成 α 1 α_1 α1​,做为条件集合里面就这一个p ∧ q元素.

第一行(2) 相当于: r ∧ s ⊢ r ∧ s r ∧ s⊢r ∧ s r∧s⊢r∧s 自身性.你们可以理解成我们的 α 2 α_2 α2​就是r ∧ s, 该行最右边有个A，它是在这说用了自身性法则, 但其实这里 A A A其实是assumption的开头a的大写字母，我们还是按规矩来说吧叫它假设法则吧, 但它本身用了自身性的法则但写成 A A A了.

跟造房子一样，我们现在有这俩假设条件作为我们的"砖头"，开始"造房子".

来看第三行(3)， 1∧E,这是在说利用了第1行的p ∧ q结论，作为条件，用∧E法则即用我们的和消除可以得到p.那么这个p自然用到了 α 1 α_1 α1​这个假设前提. 该行用了 X ⊢ A ∧ B X ⊢ A    ∧ E \frac{X⊢A∧B}{X⊢A}\ \ ∧E X⊢AX⊢A∧B​  ∧E， 换句话说， α 1 ⊢ p ∧ q α 1 ⊢ p    ∧ E \frac{α_1⊢p∧q}{α_1⊢p}\ \ ∧E α1​⊢pα1​⊢p∧q​  ∧E, 所以在第三行(3)最前头要写 α 1 α_1 α1​. α 1 α_1 α1​里就p∧q这一个元素, 你们也可以认为是 p ∧ q ⊢ p ∧ q p∧q⊢p∧q p∧q⊢p∧q,根据和消除得到 p ∧ q ⊢ p p∧q⊢p p∧q⊢p. 同理第4行(4).

我们来看看最后一行第5行(5), 它的 3 , 4 ∧ I 3,4∧I 3,4∧I是在说，用了第4行第5行的结论，p跟s作为条件利用和引进法则得到结论p∧s. 相当于 α 1 ⊢ p     α 2 ⊢ s α 1 , α 2 ⊢ p ∧ s     ∧ I \frac{α_1⊢p\ \ \ α_2⊢s}{α_1,α_2⊢p∧s}\ \ \ ∧I α1​,α2​⊢p∧sα1​⊢p   α2​⊢s​   ∧I这个法则. 到此我们论证结束，我们发现我们成功的利用了 α 1 α_1 α1​和 α 2 α_2 α2​作为假设前提论证出了p∧s，而这假设前提 α 1 α_1 α1​和 α 2 α_2 α2​是“p ∧ q" 跟"r ∧ s"而来的. 所以我们的到了“p ∧ q" 跟"r ∧ s"可以推出p∧s.

三. 如果…那么…(implication)

如果…那么…用"→"来表示，这也是个连词. 注意"→"跟"⊢"是俩玩意，"→"和"∧"一样这就是个符号公式.

“如果…那么…”,这个连接词有意思得地方就在于:
X ⊢ A → B ≡ X , A ⊢ B X⊢A→B≡X,A⊢B X⊢A→B≡X,A⊢B
就是将某个条件可以利用"→"得方式放入结论中.这个本章和上一章已经提过了，就不再赘述了.

具体写法是:
Elimination(消除) →E:
X ⊢ A         Y ⊢ A → B X , Y ⊢ B    → E \frac{X⊢A\ \ \ \ \ \ \ Y⊢A→B}{X,Y⊢B}\ \ →E X,Y⊢BX⊢A       Y⊢A→B​  →E

Introduction(引进) →I:
X , A ⊢ B X ⊢ A → B    → I \frac{X,A⊢B}{X⊢A→B}\ \ →I X⊢A→BX,A⊢B​  →I

我们来看看这"如果…那么…"得逻辑在说什么，先看消除 它在说，如果桌子上有苹果，桌子上如果有苹果那么会有香蕉，可以推出，桌子上有香蕉. 我们来看看它的假设，先看前提的假设，它有俩前提，那自然有俩假设前提(这里的假设前提是命题逻辑的)即 X X X, Y Y Y,而 X ⊢ A X⊢A X⊢A和 Y ⊢ A → B Y⊢A→B Y⊢A→B作为相继式前提，即关于结论相继式 X , Y ⊢ B X,Y⊢B X,Y⊢B的前提.

既然你要用这俩前相继式作为前提，那么得到的相继式结论中的命题结论就自然需要这俩假设 X , Y X,Y X,Y作为命题前提，所以可以得到 X , Y ⊢ B X,Y⊢B X,Y⊢B这个结论相继式.

再来看看引进, 给大家举个例子来理解它的逻辑:
所有人都是杂食动物
我是人
因此我是杂食动物.

很明显前两个句子是前提，后个句子是结论.

那么它是可以变成:
所有人都是杂食动物
因此如果我是人，那么我是杂食动物.

我们可以看到，它将条件相继式中的条件命题 A A A提出来，用"→"放入了结论相继式中.也就是消掉了个假设前提，将对应的假设前提放入结论里去了.

我们来看到题，来感受下:

p ⊢ ( q → r ) → ( q → ( p ∧ r ) ) p ⊢ (q → r) → (q → (p ∧ r)) p⊢(q→r)→(q→(p∧r))
这道题，想必大家还可以再变换下，将结论里的某个部分再放回前提里去，这也是可以的，例如我们可以写一个新的相继式即: p , ( q → r ) ⊢ ( q → ( p ∧ r ) ) p, (q → r) ⊢ (q → (p ∧ r)) p,(q→r)⊢(q→(p∧r)),回到此题，我们来利用自然演绎来论证下:

α 1    ( 1 )     p     A α1\ \ (1)\ \ \ p\ \ \ A α1  (1)   p   A
α 2     ( 2 )    q → r     A α2\ \ \ (2)\ \ q → r\ \ \ A α2   (2)  q→r   A
α 3     ( 3 )    q     A α3\ \ \ (3)\ \ q\ \ \ A α3   (3)  q   A
α 2 , α 3     ( 4 )     r     2 , 3 → E α2,α3\ \ \ (4) \ \ \ r \ \ \ 2, 3 →E α2,α3   (4)   r   2,3→E
α 1 , α 2 , α 3     ( 5 )     p ∧ r     1 , 4 ∧ I α1,α2,α3\ \ \ (5)\ \ \ p ∧ r\ \ \ 1, 4 ∧I α1,α2,α3   (5)   p∧r   1,4∧I
α 1 , α 2    ( 6 )     q → ( p ∧ r )     5 [ α 3 ] → I α1,α2\ \ (6)\ \ \ q → (p ∧ r)\ \ \ 5 [α3] →I α1,α2  (6)   q→(p∧r)   5[α3]→I
α 1     ( 7 )     ( q → r ) → ( q → ( p ∧ r ) )     6 [ α 2 ] → I α1\ \ \ (7) \ \ \ (q → r) → (q → (p ∧ r))\ \ \ 6 [α2] →I α1   (7)   (q→r)→(q→(p∧r))   6[α2]→I

前3行不再赘述,就是在找"砖头",但这个找砖头其实不好找的，如果有→的相继式，我们可以把它化成, p , ( q → r ) , q ⊢ ( p ∧ r ) p, (q → r) ,q ⊢ (p ∧ r) p,(q→r),q⊢(p∧r),这个相继式的前提是不是就是我们的假设A.即前三行.

第4行: 他在说利用第2行和第三行的结论q → r和q,使用→E法则可以得到r, 也就是 α 2 ⊢ q → r        α 3 ⊢ q α 2 , α 3 ⊢ r    → E \frac{\alpha_2⊢q → r\\ \ \ \ \ \ \ \alpha_3⊢q}{\alpha_2,\alpha_3⊢r}\ \ →E α2​,α3​⊢rα2​⊢q→r      α3​⊢q​  →E.

第五行不再赘述.

第6行:利用第5行的结论,使用→I法则，还记得么，要使用→I法则需要消除一个假设即 [ α 3 ] [\alpha_3] [α3​]，消除 α 3 \alpha_3 α3​,那么 α 3 \alpha_3 α3​这个假设对应的是不是q，所以变成结论 q → (p ∧ r)，前面假设前提也变成了 α 1 , α 2 α1,α2 α1,α2,消除了 α 3 α3 α3.

同理于第7行，所以最后我们的到，α1⊢(q → r) → (q → (p ∧ r))，而α1就是我们的p，所以p⊢(q → r) → (q → (p ∧ r)). 完美！

四. 结语

后续还有两个连接词"∨"和”¬“， 小弟目前介绍的是命题逻辑的自然演绎算法. 后续会有不同逻辑的自然演绎算法，也就是多了几条法则而已.

大家也可能发现了，目前这套自然演绎的逻辑法则被我们称为古典逻辑，就是正常人的逻辑思考，利用数学的写法把逻辑具象化了，之后利用公式法则来推演. 我们的罗素同学很喜欢这套逻辑也是我们古典逻辑的代表人物. 相当于牛顿和经典物理一样，但这套自然演绎算法却不是罗素创造的，而是一位德国著名数学家和逻辑学家名叫格哈雷·根岑.相当于牛顿般的存在，很讽刺的是大家都知道罗素，却不知道根岑…根岑的贡献相当于牛顿发现了物理里的F=ma…

每个逻辑背后都有自己的一个某某思想，根据这个某某思想从而解释创造出一套逻辑，当这个某某思想被很多人追随认可时，这就变成了某某主义，例如我们的共产主义，我们有共产思想，我们做的事情符合共产逻辑.

我们从自然演绎中也看出来了，我们古典逻辑其实服从的是一种数学思想和数学思维主义，还记得我们写数学题经常写因为是三角形，所以内角和180度，这其实就是种自然演绎,这就是有效论证，它就是经过数学思想演化出来将逻辑更具象化的表示出来.所以我们会发现，一般著名的哲学家,他的数学一般都很强.

若有谬误请指出感谢.

标签：结论,逻辑,第三章,假设,可以,哲学,frac,我们
来源： https://blog.csdn.net/wf312058666/article/details/118279588