高斯消元
作者：互联网
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简介
高斯消元 主要用于求线性方程组，也可以求矩阵的秩、矩阵的逆
时间复杂度为 \(O(n^3)\)
思想：初中解方程的加减消元，最后得到类似 \(kx = b\) ，然后逐一往回带，求出其他的未知数
解方程
\[\begin{cases} 3x + 2y + z = 6~~① \\ \\ 2x + 2y + 2z = 4~~②\\ \\ 4x - 2y - 2z = 2~~③ \end{cases} \]消 \(x\)
① 式除以 3，然后让 ② - 2 * ①，③ - 4 * ① 得到
\[\begin{cases} x + \frac {2}{3}y + \frac{1}{3}z = 2~~④ \\ \\ \frac{2}{3}y + \frac{3}{4}z = 0~~⑤\\ \\ -\frac{14}{3}y - \frac{10}{3}z = -6~~⑥ \end{cases} \]然后让 ⑤ 除以 \(\frac{2}{3}\)， 然后让 ⑥ - ⑤ * (\(-\frac{14}{3}\))
得到
\[\begin{cases} y + 2z = 0~~⑦\\ ~~\\ \frac{18}{3} z = -6~~⑧ \end{cases} \]由 ⑧ 得 \(z = -1\)
然后再把 \(z = 1\) 代入 ⑦ 得到 \(y = 2\)
然后把 \(z=1,y = 2\) 代入 ④ 得到 \(x = 1\)
矩阵运算消元
把上面的柿子的系数放在矩阵中
\[\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 3&2&1&6\\ 2&2&2&4\\ 4&-2&-2&2 \end{array} \right] \]左边是系数，右边是结果
然后再这个矩阵中进行上述操作
消去 x
\[\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 1&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&2\\ 0&\frac{2}{3}&\frac{4}{3}&0\\ 0&-\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}&-6 \end{array} \right] \]消去 y
\[\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 1&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&2\\ 0&1&2&0\\ 0&0&\frac{18}{3}&-6 \end{array} \right] \]解得
\[\left[ \begin{array} 11\\ 2\\ -1\\ \end{array} \right] \]判断解得情况
- 无解：若有一行系数全是 0，且 val 不为 0，那么方程无解
- 有多个解，有多行系数和 val 都为 0
优点：可以判断无解，有无数解情况
缺点：需要回代
高斯-约当消元
高斯消元是执行到第 \(i\) 个方程 \(x_k\) 去消后面的 \(x_k\) , 而约当消元是同时消掉前面的 \(x_k\)
初始形式：
\[\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 3&2&1&6\\ 2&2&2&4\\ 4&-2&-2&2 \end{array} \right] \]最终形式
\[\left[ \begin{array}{ccc|c} x&y&z&val\\ 1&0&0&?\\ 0&1&0&?\\ 0&0&1&? \end{array} \right] \]呈对角线形式
优点：省掉了回代过程
缺点：只能判断是否有唯一解，不能判断是否有解
写在最后
鸣谢Alex_McAvoy 提供栗子
标签：begin,end,val,frac,array,&-,高斯消 来源： https://www.cnblogs.com/Arielzz/p/14942187.html