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十进制转二进制 / 八进制 / 十六进制的手算方法，及其数学原理的通俗解释

作者：互联网

前言：接触计算机的同学学习基础课程时，不免会碰到十进制转二进制 / 八进制 / 十六进制这种问题。常见的方法有“除以2/8/16看余数”。本文在介绍方法的前提上，对其数学原理进行了通俗的解释。

 二进制与十进制

不考虑汇编语言的特性，对于一个字节：1 0 0 1 1 0 1 0，将其转十进制即为

2^7 \times 1 + 2^6 \times 0 + 2^5 \times 0 + 2^4 \times 1 + 2^3 \times 1 + 2^2 \times 0 + 2^1 \times 1 + 2^0 \times 0 = 154

要注意最低位（最右边的位）代表的是2的0次方，而非1次方。总之，二进制转十进制很简单。这里为后文做铺垫。

十进制转二进制手算方法

以154为例：将154不断除以2，取余数，最后从底部取数，作为二进制的开头。

操作 上一行操作的商值 余数
154除以2 154 0
77除以2 77 1
38除以2 38 0
19除以2 19 1
9除以2 9 1
4除以2 4 0
2除以2 2 0
1除以2 1 1

最后所得二进制值即10011010。

结果是正确的，但是这个方法的道理/数学原理是什么？

数学原理

十进制数154，对应的二进制为10011010，即2^7 \times 1 + 2^4 \times 1 + 2^3 \times 1 + 2^1 \times 1 = 154，我们将这个式子进行与上述方法同样的操作。

操作 上一行操作的商值 余数
154除以2 154 = 2^7 * 1 + 2^4 * 1 + 2^3 * 1 + 2^1 * 1 0
77除以2 77 = 2^6 * 1 + 2^3 * 1 + 2^2 * 1 + 2^0 * 1 1
38除以2 38 = 2^5 * 1 + 2^2 * 1 + 2^1 * 1 0
19除以2 19 = 2^4 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1 1
9除以2 9 = 2^3 * 1 + 2^0 * 1 1
4除以2 4 = 2^2 * 1 0
2除以2 2 = 2^1 * 1 0
1除以2 1 = 2^0 * 1 1

如上表，不断除以2实际上是一种“将二进制高位降档”的过程：

【附】定义规则：对于\omega位的二进制数X = x_\omega x_{\omega-1} ... x_{2}x_{1}，其转换为十进制即B2U(X) = \sum_{i=1}^{\omega} x_i \cdot 2^{i-1}。

拓展：十进制转八进制、十六进制

那现在读者也一定知道八进制转二进制的做法和原理了吧？我来举个例子，比如十进制数109。

操作 上一行操作的商值 余数
109除以8 109 = 8^2 * 1 + 8^1 * 5 + 8^0 * 5 5
13除以8 13 = 8^1 * 1 + 8^0 *5 5
1除以8 1 = 8^0 * 1 1

即109的八进制为155。

转为十六进制例子如下。

操作 上一行操作的商值 余数
109除以16 109 = 16^1 * 1 + 16^0 * 13 D(13)
6除以16 6 = 16^0 * 6 6

即109的十六进制为6D。

标签：十六进制,154,16,二进制,除以,109,手算,八进制,十进制
来源： https://blog.51cto.com/u_15279775/2937866