P4363 [九省联考2018]一双木棋chess（轮廓线状压）
作者：互联网
这两天学了这个。
是轮廓线状压的或许算是裸题。
关键在于怎么压状态。
题意
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有一个 \(n \times m\) 的棋盘，两个人轮流下棋。
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一个位置可以落子当且仅当这个位置的左侧和上面都有棋子。
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两个人落在对应的位置会收获各自的贡献值。
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最大化自己的得分减去对方的得分。
做法
博弈论？
是有 max_min搜索还有一些别的做法的。
看眼数据范围，都是 \(10\) 以内的。
于是考虑状压。
问题随之而来：如何存状态？
由于落子是有限制的，所以需要考虑在什么情况下可以落子。
由于落子是合法的需要满足左边和上边都有棋子，于是在整个过程中必然会有这样的情况：
可以发现这样的轮廓一定是连续的。
于是这就是我们需要的轮廓线。
可以考虑存储右下角的轮廓线作为状态。
如何存储呢？
首先这个轮廓线的长度肯定是 \(n+m\) 的。
我们用 \(0\) 来表示横边，用 \(1\) 来表示竖边。
可以举个例子：
对于当前的状态，从右上角开始，向左下角延伸，如果有横边那么当前位就是 \(0\)，有竖边就是 \(1\)；
所以状态串就是 \(000101010101010101\)
之后对于状态的判断以及转移过程，都可以利用这个轮廓线。
可以发现，经过这样的状压之后，判断是否可以落子的条件就变成了：是否存在一个位置，满足串中有 \(01\) 这样的两位，如果有，那么就可以落子。
落子以后，该位置的 \(01\) 就会变成 \(10\)。
对于转移过程中的具体操作，由于需要判断状态串中是否存在 \(01\)，可以采用一种手法：
if(((now>>i)&3)!=1)continue;
由于 \(3\) 的二进制是 \(011\) ，如果也就是判断是否存在 \(01\)的情况。
之后改变状态：
int nxt=now^(3<<i);
之后起始状态和终止状态就很明显了：
起始状态：\(000...00111...11\)
终止状态：\(111...11000...00\)
之后就是关于如何 DP 的问题了。
其实这个事情是不好办的。
首先这个题目要求我们两个人都要走最优策略。
如果按照我们常规的 DP 思路的话，自然是要设 \(f[S]\) 为在 \(S\) 这个状态下可以获得多少得分差。
但是对于这种博弈论 DP 的题目是不可以这样做的。
由于两方都要采取最优策略，所以我们不得不考虑将来的行动对现在现在的影响。
如果正序 dp 的话也许会发生当前确实取到了最大值但是其实并不是最优策略。
于是我们可以考虑倒过来 dp。
可以假装我们可以一步看到结局，然后选择对自己最有利的状态。
显然棋盘被布满的状态下没有人可以获得新的分数，那么如果我们用 \(f[S]\) 表示从 \(S\) 轮廓线的状态距离游戏结束还能得多少分。
那么我们会发现，如果这个局面是先手下完以后形成的，那么如何这个局面如何转移的主动权显然是攥在后手的手里，所以此时这个 dp 值应该由所有后继状态的相对于先手最劣的状态转移过来，也就是所有的后继状态取个 \(\min\)。
如果是后手的话，dp值就应该是对于后手最劣的状态转移过来，也就是所有的后继状态取个 \(\max\)。
也就是第一个人想要最大化两者的差值，第二个人想要最小化这个差值。
//#define LawrenceSivan
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define re register
const int maxn=1e5+5;
#define INF 0x3f3f3f3f
int n,m;
int f[1<<21];
int a[15][15],b[15][15];
bool vis[1<<21];
int dfs(int now,int who){
if(vis[now])return f[now];//记忆化搜索
vis[now]=true;
f[now]= who?-INF:INF;//先手取max，所以初始最小，后手取min，所以初始最大
int x=n,y=0;
for(re int i=0;i<n+m-1;i++){
if((now>>i)&1)x--;
else y++;
if(((now>>i)&3)!=1)continue;
int nxt=now^(3<<i);
if(who)f[now]=max(f[now],dfs(nxt,0)+a[x][y]);
else f[now]=min(f[now],dfs(nxt,1)-b[x][y]);
}
return f[now];
}
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
int main(){
#ifdef LawrenceSivan
freopen("aa.in","r",stdin);
freopen("aa.out","w",stdout);
#endif
n=read();m=read();
for(re int i=0;i<n;i++){
for(re int j=0;j<m;j++){
a[i][j]=read();
}
}
for(re int i=0;i<n;i++){
for(re int j=0;j<m;j++){
b[i][j]=read();
}
}
vis[((1<<n)-1)<<m]=true;//倒过来DP，即从结束状态开始
f[((1<<n)-1)<<m]=0;
dfs((1<<n)-1,1);
printf("%d\n",f[(1<<n)-1]);//最后找到开始状态下对应的答案
return 0;
}
标签：状态,落子,...,int,可以,状压,木棋,轮廓线,联考 来源： https://www.cnblogs.com/LawrenceSivan/p/14918023.html