【数电】（第二章） 逻辑代数基础
作者：互联网
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A 概述逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。
逻辑代数：又称开关代数或布尔代数。是按逻辑规律进行运算的代数。其形式与线性代数一样，输入与输出都用变量（字母）表示，但含义不一样，变量取值只有0和1，它是研究用0、1构成的数字系统的数学工具。有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或、同或几种导出逻辑运算。
逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。
逻辑代数的基本运算有与（AND)、或(OR)、非(NOT)三种
B.a “与”逻辑(AND)
只有当决定某一事件的条件全部具备时，事件F才发生。
与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满 足时，事件（Y）才能发生。
| 表达式 | 电路图 |
|---|---|
 |
 |
两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：
Y
=
A
⋅
B
Y= A\cdot B
Y=A⋅B
功能表：
将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭 记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：
这种把所有可能的条件组合及其对应结果 一一列出来的表格叫做真值表。
实现与逻辑的电路称为与门。 与门的逻辑符号：
与门（电路）功能概括为：有0出0，全1出1。
PS:
B.b “或”逻辑
或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要 有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。
| 逻辑表达式 | 电路图 |
|---|---|
 |
 |
两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：
Y
=
A
+
B
Y=A+B
Y=A+B
| 功能表 | 真值表 |
|---|---|
 |
 |
实现或逻辑的电路称为或 门。或门的逻辑符号：
或门功能概括：有1出1，全0出0。
B.c “非”逻辑
非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不 发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：
PS：0为假，非零为真（包括负数）
| 功能表 | 真值表 |
|---|---|
 |
 |
实现非逻辑的电路称为非 门。非门的逻辑符号：
“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其他的逻辑关系都可以以它们为基础表示。
常见的复合逻辑运算有：
与非运算； 或非运算；与或非运算；异或运算； 同或运算
B.d 与非运算
真值表：
逻辑表达式：
Y
=
(
A
⋅
B
)
′
Y=(A\cdot B)'
Y=(A⋅B)′或者
Y
=
A
⋅
B
‾
Y=\overline{A\cdot B}
Y=A⋅B
与非逻辑功能概括：有0出1，全1出0
与非逻辑符号：
B.e 或非运算
或非逻辑真值表：
表达式：
Y
=
(
A
+
B
)
′
Y=(A+B)'
Y=(A+B)′或者
Y
=
A
+
B
‾
Y=\overline{A+B}
Y=A+B
或非逻辑功能：有1出0，全0出1
或非逻辑符号：
B.f 与或非运算
与或非逻辑真值表:
表达式： Y = ( A B + C D ) ′ Y=(AB+CD)' Y=(AB+CD)′
与或非逻辑符号：
B.g 异或运算
表达式：
Y
=
A
′
B
+
A
B
′
=
A
⊕
B
Y=A'B+AB'=A\oplus B
Y=A′B+AB′=A⊕B
功能概括：输入两变量相异时输出为1
异或逻辑符号：
异或逻辑真值表：
| A \qquad B | Y |
|---|---|
| 0 \qquad 1 | 1 |
| 0 \qquad 1 | 1 |
| 1 \qquad 0 | 1 |
| 1 \qquad 1 | 0 |
异或逻辑的运算规则为：
B.h 同或运算
逻辑表达式：
Y
=
A
⊙
B
=
A
′
B
′
+
A
B
Y=A\odot B=A'B'+AB
Y=A⊙B=A′B′+AB
功能概括：输入两变量相同时输出为1
同或逻辑符号：
同或逻辑真值表：
| A \qquad B | F |
|---|---|
| 0 \qquad 0 | 1 |
| 0 \qquad 1 | 0 |
| 1 \qquad 0 | 0 |
| 1 \qquad 1 | 1 |
同或的运算规则：
对于两个变量来说，异或和同或互为反函数，因此：
A
⊙
B
=
A
⊕
B
‾
A\odot B = \overline{A\oplus B}
A⊙B=A⊕B
A
⊕
B
=
A
⊙
B
‾
A\oplus B = \overline{A\odot B}
A⊕B=A⊙B
C.a 逻辑函数的基本概念
普通代数中的函数：
Y
=
A
×
B
+
C
Y=A\times B+C
Y=A×B+C
左边是因变量，右边是自变量
逻辑代数中的函数：
Y
=
A
B
+
C
Y=AB+C
Y=AB+C
左边是输出变量，右边是输入变量
两者区别：
- 变量取值范围不同，输入和输出逻辑变量取值只能是0或1。
- 运算不同，逻辑代数是与运算，或运算，非运算。
逻辑函数的一般定义：设输入逻辑变量为A、B、C、 …，输出逻辑变量为F 。 当A、B、C、 …的取值确定后，F的值就被唯一的确定下来，则称F是A、B、C、… 的逻辑函数，记为：
逻辑变量和逻辑函数的取值只能是0或1，没有其它中间值。
C.b 逻辑代数的运算法则
C.b.a 逻辑函数的相等
设有两个逻辑函数
F
1
=
f
1
(
a
1
，
a
2
，
.
.
.
，
a
n
)
F_1=f_1(a_1，a_2，...，a_n)
F1=f1(a1，a2，...，an)
F
2
=
f
2
(
a
1
，
a
2
，
.
.
.
，
a
n
)
F_2=f_2(a_1，a_2，...，a_n)
F2=f2(a1，a2，...，an)
若两逻辑函数具有完全相同的真值表，则这两个逻辑函数相等。真值表法是判断逻辑函数相等关系的最基本方法。此外，也可用逻辑代数的定理、规则和公式进行证明。
C.b.b 基本公式
（1）0-1律
1
⋅
A
=
A
1\cdot A=A
1⋅A=A （常闭合的开关与A串联，结果完全取决于A ）
0
+
A
=
A
0+A=A
0+A=A （常断开的开关与A并联，结果完全取决于A ）
0
⋅
A
=
0
0\cdot A=0
0⋅A=0（常断开的开关与A串联，结果永远是断开的）
1
+
A
=
1
1+A=1
1+A=1（常闭合的开关与A并联，结果永远是通的））
（ 2）交换律：
A
⋅
B
=
B
⋅
A
A\cdot B=B\cdot A
A⋅B=B⋅A
A
+
B
=
B
+
A
A+B=B+A
A+B=B+A
（3)结合率
A
⋅
(
B
⋅
C
)
=
(
A
⋅
B
)
⋅
C
A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C
A⋅(B⋅C)=(A⋅B)⋅C
A
+
(
A
+
B
)
=
(
A
+
B
)
+
C
A+(A+B)=(A+B)+C
A+(A+B)=(A+B)+C
（4）分配律：
A
⋅
(
B
+
C
)
=
A
⋅
B
+
A
⋅
C
A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C
A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C
A
+
(
B
⋅
C
)
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
A+(B\cdot C)=(A+B)(A+C)
A+(B⋅C)=(A+B)(A+C)
（5）互补律：
A
+
A
‾
=
1
A+\overline{A}=1
A+A=1
A
⋅
A
‾
=
0
A\cdot \overline{A}=0
A⋅A=0
( 6）重叠率：
A
⋅
A
=
A
A\cdot A=A
A⋅A=A
A
+
A
=
A
A+A=A
A+A=A
(7） 还原率：
A
‾
‾
=
A
\overline{\overline{A}}=A
A=A
C.b.c 常用公式
（8）反演率：也称为摩根定理
A
⋅
B
‾
=
A
‾
+
B
‾
\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}
A⋅B=A+B
A
+
B
‾
=
A
‾
⋅
B
‾
\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}
A+B=A⋅B
(9）吸收率(
I
I
I)：
A
+
A
B
=
A
A+AB=A
A+AB=A
A
(
A
+
B
)
=
A
A(A+B)=A
A(A+B)=A
(10)吸收律（
I
I
II
II）
A
+
A
‾
B
=
A
+
B
A+\overline{A}B=A+B
A+AB=A+B
A
(
A
‾
+
B
)
=
A
B
A(\overline{A}+B)=AB
A(A+B)=AB
(11)吸收律（
I
I
I
III
III）
A
B
+
A
B
‾
=
A
AB+A\overline{B}=A
AB+AB=A
(
A
+
B
)
(
A
+
B
‾
)
=
A
(A+B)(A+\overline{B})=A
(A+B)(A+B)=A
(12）冗余定律：冗余定律也成为多余项定理
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
=
A
B
+
A
‾
C
AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C
AB+AC+BC=AB+AC
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
D
E
F
=
A
B
+
A
‾
C
AB+\overline{A} C+BCDEF=AB+\overline{A}C
AB+AC+BCDEF=AB+AC
( A + B ) ( A ‾ + C ) ( B + C ) = ( A + B ) ( A ‾ + C ) (A+B)(\overline{A}+C)(B+C)=(A+B)(\overline{A}+C) (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)
C.c 逻辑代数的基本定理
1 代入定理
代入规则指出，将逻辑等式中的某一变量代以另一函数，其等式仍然成立。
例如：利用代入规则可以证明:
A
+
C
+
D
‾
=
A
‾
C
‾
D
‾
\overline{A+C+D}=\overline{A}\ \overline{C}\ \overline{D}
A+C+D=A C D
令
A
+
C
=
M
,
M
+
D
‾
=
M
‾
⋅
D
‾
=
A
+
C
‾
⋅
D
‾
=
A
‾
C
‾
D
‾
A+C=M,\\ \overline{M+D}=\overline{M}\cdot \overline{D} =\overline{A+C}\cdot \overline{D} =\overline{A}\ \overline{C}\ \overline{D}
A+C=M,M+D=M⋅D=A+C⋅D=A C D
2 对偶定理
将原函数式
F
=
f
(
A
,
B
,
.
.
.
)
F=f(A,B,...)
F=f(A,B,...)中的所有
"
⋅
"
"\cdot"
"⋅"变为
"
+
"
"+"
"+"，
“
+
”
“+”
“+”变为
"
⋅
"
"\cdot"
"⋅",0变为1，1变为0,所有变量不变，这样得到的新函数，叫原函数式的对偶式
F
′
F'
F′或
F
∗
F^*
F∗。
注意：
- 由原式求对偶式时，原来的运算顺序保持不变。要正确运用括号来表示运算顺序，原来先运算的仍然要先运算。
- 求对偶式时，原式中的长短非号一律保持不变。
- F 和 F ′ F和F' F和F′互为对偶，显然，某逻辑函数的对偶的对偶便为原函数，即 ( F ′ ) ′ = F (F')'=F (F′)′=F。
例子：
注：基本公式同一定律的两个式子为对偶式。
3 ．反演定理
从原函数求反函数的过程叫做反演。将原函数式
F
=
f
(
A
,
B
,
.
.
.
)
F=f(A,B,...)
F=f(A,B,...)中的所有
"
⋅
"
"\cdot"
"⋅"变为
"
+
"
"+"
"+"，
“
+
”
“+”
“+”变为
"
⋅
"
"\cdot"
"⋅",0变为1，1变为0，原、反变量互变(与对偶的区别)，这样得到的新函数
F
‾
\overline{F}
F叫函数式的反函数。
注意：
- 反演时，原来的运算顺序应保持不变。原式中要先运算的仍要先运算，“先括号，然后乘，最后加”。
- 反演过程中，多个变量上面的长非号没有变，但长非号下面的每个变量都变了。
例子：
1、 逻辑代数表达式
2、 逻辑图
3、真值表
从真值表中可以看出，这是一个多数表决通
过的逻辑函数，当输入变量A、B、C中有两个或
两个以上为1时，输出变量Y为1。
4 、波形图
各种表示方法间都可以相互转换
D.a 逻辑函数的两种标准形式
D.a.a 最大项，最小项和相邻项
1 最小项：在n变量逻辑函数中，若m 为包含n个因子的乘积项， 而且这n个变量均为原变量 或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。
 |
 |
由于一个变量只有两种形式，所以，n个变量的逻辑函数共有
2
n
2^n
2n个最小项。
最小项的性质：
(1)对于任意一个最小项，输入变量只有一组取值使其为”1”,而其他各组取值均使其为“0”， 并且，最小项不同，必有一个最小项，使其值为“1”的输入变量取值也不同
(2) 任意两个最小项的乘积为“0”。
(3) 对于变量的任意一组取值，n个变量的全部最小项之和为“1”，即
∑
m
i
=
1
\sum{m_i}=1
∑mi=1。
(4) 具有相邻性的2个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。
（5） n个变量构成的最小项有n个相邻最小项。
2 最大项 ：在n变量逻辑函数中，若M为n 个变量之和项，而且这n个变 量均为原变量或反变量的形式 在M中出现一次，则称M为该 组变量的最大项
最大项性质：
（1）在输入变量的任何取值下必有一个且只有一个最大项的值为0。
（2）全体最大项之积为0
（3）任意两个最大项之和为1
（4）只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。
 |
 |
3 相邻项：指只有一个变量为互补，其余所有变量均相同的两个最小项。
对于n个变量的逻辑函数，每个最小项均有n个相邻项。
相邻项主要用来化简函数：任何两个相邻项相或均可合并成一项并消去一个互补因子。
如：
A
‾
B
C
+
A
B
C
=
B
C
(
A
+
A
‾
)
=
B
C
\overline{A}BC+ABC=BC(A+\overline{A})=BC
ABC+ABC=BC(A+A)=BC
D.b 逻辑函数的两种标准表达式
1 最小项之和标准表达式
由最小项组成的与或逻辑表达式，称为标准与或表达式，也称为最小项标准表达式。
逻辑函数最小项之和的标准形式：
从函数的真值表中直接写出的与或逻辑表达式就是最小项标准表达式。如：
2 最大项之积标准表达式
D.c 逻辑函数及其表示方法相互转换
1．由真值表求对应的逻辑函数表达式
2．由逻辑函数表达式求对应的真值表
例：
3 逻辑函数式与逻辑图的互换
5. 波形图与真值表的互换
E 逻辑函数的公式化简法
 |
 |
逻辑函数的最简规则
1 与项最少；
2 每个与项里的因子最少
逻辑化简的目的：消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子。
化简方法：
1 并项化简法
A
+
A
‾
=
1
A+\overline{A}=1
A+A=1
2 吸收化简法
A
+
A
B
=
A
A+AB=A
A+AB=A
A
+
A
‾
B
=
A
+
B
A+\overline{A}B=A+B
A+AB=A+B
3 配项化简法
A
+
A
‾
=
1
A+\overline{A}=1
A+A=1
A
+
A
=
A
A+A=A
A+A=A
4 消去冗余项化简法
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
=
A
B
+
A
‾
C
AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C
AB+AC+BC=AB+AC
F 卡诺图化简法
卡诺图（KarnaughMap) ——是由美 国工程师卡诺首先提出的一种用来描述逻辑 函数的特殊方格图。
在这个方格图中，每个小方格代表 逻辑函数的一个最小项；
且几何相邻的小方格具有逻辑相邻 性，即两相邻小方格所代表的最小项只有一 个变量取值不同。
卡诺图特点：
- 卡诺图中的小方格数等于最小项总数，若逻辑函 数的变量数为n，则小方格数为 2 n 2^n 2n个。
- 卡诺图行列两侧标注的0和1表示使对应方格内最 小项为1的变量取值。同时，这些0和1组成的二进制数 大小就是对应最小项的编号。此外，在卡诺图中，几何 相邻的最小项具有逻辑相邻性，因此，变量的取值不能 按照二进制数的顺序排列，必须按
循环码(格雷码)排列。 - 卡诺图是一个上下、左右闭合的图形，即不但紧 挨着的方格是相邻的，而且上下、左右相对应的方格 也是相邻的。
 |
 |
 |
 |
 |
 |
沿着红线，可以得到格雷码
只有红线的首尾两项是相邻的，则是循环码。
其他典型格雷码（循环码）：
非循环码（首尾不相邻）：
F.a 逻辑函数的卡诺图表示
1 函数式
→
\rightarrow
→卡诺图
2 真值表
→
\rightarrow
→卡诺图
3 卡诺图
→
\rightarrow
→逻辑函数式
F.b 用卡诺图求最简与或表达式
用卡诺图化简逻辑函数的基本性质:
 |
 |
 |
推论：在n个变量的卡诺图中，若有
2
k
2^k
2k个“1”格相邻（k=0,1,2,…,n），它们可以圈在一起加以合并，合并时可以消去k个不同变量，简化为一个具有（n-k）个变量的与项。
若k=n，则可以消去全部变量，结果为1.
n
=
4
,
2
2
n=4,2^2
n=4,22个1格相邻，可消去2个不同的变量，简化为一个具有（4-2=2）个变量的与项。
卡诺图化简逻辑函数的步骤：
画图规则：
 |
 |
 |
 |
总规则：可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每个圈必有一个新"1"。
例子：
或与表达式的卡诺图表示
无关项及其在化简中的应用
约束项——在某些情况下，输入变量的取值不是任意 的。当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们 对应的最小项恒等于0来表示。这些恒等于0的最小项叫约 束项。
任意项——有时输入变量的某些取值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量取值 下，其值等于1的那些最小项称为任意项。
无关项——约束项和任意项统称为逻辑函数 中的无关项。“无关”指是否将这些最小项写入逻 辑函数式无关紧要，在卡诺图中用“×”表示无关 项。在化简逻辑函数时，可认为它是1，也可认为 它是0。
从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为了矩形圈最大，矩形组合数 （圈数）最少。
| 无无关项： | 使用无关项： |
|---|---|
 |
 |
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