CF877B Nikita and string TJ
作者：互联网
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前言的前言
本 TJ 同步发布于洛谷，在线求赞（bushi
前言
蒟蒻第一篇题解，在线求审核大大给过 awa。
如果此题解有什么问题的话欢迎各位大巨佬提出。
题目链接：CF877B
题目类型：dp，一讲就会，一做就废(；′⌒`)。
更新
2021/5/31：因为帮同学调代码添加了新发现的滚动数组问题。
题意简述
给定一个只含有 “a” 和 “b” 的字符串，求这个字符串中最长的子序列，子序列满足以下条件之一：
-
全为 “a”。
-
全为 “b”。
-
开头和结尾是连续的 “a”，中间是连续的 “b”。
字符串长度 ≤ 5000 \leq 5000 ≤5000。
题解
算法：动态规划
首先可以发现一个“美丽”的字符串由三个部分组成，所以我们可以开一个二维的 d p dp dp 数组。其含义如下：
-
d p i , 1 dp_{i,1} dpi,1 代表字符串只包含第一部分，从 1 ∼ i 1\sim i 1∼i 能取到的最长长度；
-
d p i , 2 dp_{i,2} dpi,2 代表字符串包含第一部分和第二部分，从 1 ∼ i 1\sim i 1∼i 能取到的最长长度；
-
d p i , 3 dp_{i,3} dpi,3 代表字符串包含所有部分，从 1 ∼ i 1\sim i 1∼i 能取到的最长长度。
因为每个部分都可以是空串，所以最后的答案可以为 d p i , 1 , d p i , 2 , d p i , 3 dp_{i,1},dp_{i,2},dp_{i,3} dpi,1,dpi,2,dpi,3 的任意一种，取最大值。
然后思考如何转移状态。
首先 d p i , 1 dp_{i,1} dpi,1 是很好求的，我们只需要求解字符串里面有多少个 “a” 就可以了。这个很好想，要求解一个字符串中最长的只包含 “a” 或为空的子序列，只需统计 “a” 的个数，让所有的 “a” 都加入子序列。
当然我们不需要每次都用一个循环求解，可以参照前缀和的方式求解 “a” 的个数：
dp[i][1]=dp[i-1][1]+(a[i]=='a');
（如果这个字符是 “a” 就 + 1 +1 +1，反之不加）
接着考虑 d p i , 2 dp_{i,2} dpi,2 的求法。实际上，我们可以用另一种方式理解前面求 d p i , 1 dp_{i,1} dpi,1，把它当做动态转移方程而并不是一个简单的求前缀和的式子：
- 如果这个字符是 “a”，那么一定要选，然后再加上前 i − 1 i-1 i−1 个字符能拿到的最长的长度。
那么， d p i , 2 dp_{i,2} dpi,2 的解法就呼之欲出了：
dp[i][1]=max(dp[i][1],dp[i][2])+(a[i]=='b');
因为第一部分和第二部分都可以是空串，所以一个全为 “a” 的字符串同样可以作为第二部分的结果，所以需要求最大值。最后的那个 “b” 也是一样的，因为如果这个字符串不是一个全为 “a” 的字符串，就必须以 “b” 结束。所以只有后面是 “b” 才能增加字符串的长度，若答案全是 “a” 那就是 d p i , 1 dp_{i,1} dpi,1，与 d p i , 2 dp_{i,2} dpi,2 的求解是无关的。
d
p
i
,
3
dp_{i,3}
dpi,3 方法类似，需要考虑空串的情况，考虑
d
p
dp
dp 前两维的情况；也需要根据结尾的 “a” 判断不为空的最大值，读者自证不难。
dp[i][3]=max(dp[i][1],dp[i][2],dp[i][3])+(a[i]=='a');
最后可以看到：
我们只有 " 1 , 3 1,3 1,3 不空， 2 2 2 空"和 " 1 , 3 1,3 1,3 空， 2 2 2 不空"的情况没有考虑到。但是由于第一个部分和第三个部分本质上是一样的，所以这两种情况可以分别对应到另外两种我们已经考虑过的情况——全为 “a” 或全为 “b”。
C o d e Code Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[5005][4],n;
char a[5005];
int main(){
scanf("%s",a+1);
n=strlen(a+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
dp[i][1]=dp[i-1][1]+(a[i]=='a');
dp[i][2]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][2])+(a[i]=='b');
dp[i][3]=max(dp[i-1][1],max(dp[i-1][2],dp[i-1][3]))+(a[i]=='a');
}
printf("%d",max(dp[n][1],max(dp[n][2],dp[n][3])));
return 0;
}
关于滚动数组
我有个同学一直没过让 me 帮他调代码，然后我发现他用的是滚动数组。
首先要明确这道题是不能在上述代码中直接修改的。因为如果打滚动，例如求 d p i , 3 dp_{i,3} dpi,3 时需要用到 d p i − 1 , 2 dp_{i-1,2} dpi−1,2 的值，但是如果打滚动这个值就已经被更新为 d p i , 2 dp_{i,2} dpi,2 了。
如果要打滚动呢？
很简单，先求 d p i , 3 dp_{i,3} dpi,3，再求 d p i , 2 dp_{i,2} dpi,2，最后求 d p i , 1 dp_{i,1} dpi,1 就阔以了。
最后希望大家文明浏览，否则陶片两行泪 qwq。
标签：全为,滚动,CF877B,Nikita,TJ,dpi,max,字符串,dp 来源： https://blog.csdn.net/cqbzljt/article/details/118067250