不同的子序列

思路

这道题目如果不是子序列，而是要求连续序列的，那就可以考虑用KMP。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

这一类问题，基本是要分析两种情况

• s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
• s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等

一、当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。

一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。

一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。

例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。

当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。

所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

二、当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时
dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配，即：dp[i - 1][j]

所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];

3. dp数组如何初始化

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。

dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。

那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。

再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。

那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。

最后就要看一个特殊位置了，即：dp[0][0] 应该是多少。

dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。

4. 确定遍历顺序

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

5. 举例推导dp数组

以s：“baegg”，t："bag"为例，推导dp数组状态如下：

动规五部曲分析完毕，代码如下：

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        vector<vector<uint64_t>> dp(s.size()+1,vector<uint64_t>(t.size()+1,0));//uint64_t无符号的整型
        for(int ii=0;ii<=s.size();ii++) dp[ii][0]=1;
        for(int jj=1;jj<=t.size();jj++) dp[0][jj]=0;

        for(int ii=1;ii<=s.size();ii++){
            for(int jj=1;jj<=t.size();jj++){
                if(s[ii-1]==t[jj-1]){
                    dp[ii][jj]=dp[ii-1][jj]+dp[ii-1][jj-1];
                }
                else{
                    dp[ii][jj]=dp[ii-1][jj];
                }
            }
        }
        return dp[s.size()][t.size()];
    }
};

标签：不同,个数,ii,字符串,jj,序列,递推,dp
来源： https://blog.csdn.net/weixin_46269257/article/details/118016355