文章目录

• 一、引言
• • 1.1 记号
  • 1.2 方程
  • 1.3 研究内容
  • 1.4 实例
• 二、Sobloev空间
• • 2.1 连续可微空间
  • 2.2 L p L^p Lp空间

一、引言

1.1 记号

导数 u x i = ∂ u ∂ x i , u x i , x j = ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j u_{x_i}=\frac{\partial u}{\partial x_i},u_{x_i,x_j}=\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j} uxi​​=∂xi​∂u​,uxi​,xj​​=∂xi​∂xj​∂2u​
梯度 D u = ∇ u = ( ∂ ∂ x 1 , ⋯   , ∂ ∂ x n ) ⋅ u Du=\nabla u=\left(\frac{\partial}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial}{\partial x_n}\right)\cdot u Du=∇u=(∂x1​∂​,⋯,∂xn​∂​)⋅u
Hessian矩阵 D 2 u = [ u x i , x j ] n × n D^2 u=\left[ u_{x_i,x_j} \right]_{n\times n} D2u=[uxi​,xj​​]n×n​
Laplace算子 Δ u = ∇ 2 u = ∑ i u x i , x i \Delta u=\nabla^2u=\sum_i u_{x_i,x_i} Δu=∇2u=∑i​uxi​,xi​​

1.2 方程

u t − Δ u = f ( x , t ) u_t-\Delta u=f(x,t) ut​−Δu=f(x,t) 热传导方程
u t t − Δ u = f ( x , t ) u_{tt}-\Delta u=f(x,t) utt​−Δu=f(x,t) 波动方程
− Δ u = f ( x , t ) -\Delta u=f(x,t) −Δu=f(x,t) Laplace方程

若各向异性，则有
u t + L u = f ( x , t ) u_t+Lu=f(x,t) ut​+Lu=f(x,t) 热传导方程
u t t + L u = f ( x , t ) u_{tt}+Lu=f(x,t) utt​+Lu=f(x,t) 波动方程
L u = f ( x , t ) Lu=f(x,t) Lu=f(x,t) Laplace方程
L u : = − ∑ i , j a i , j ( x , t ) u x i , x j + ∑ i b i ( x , t ) u x i + c ( x , t ) u Lu:=-\sum_{i,j} a^{i,j} (x,t) u_{x_i,x_j} + \sum_i b^i (x,t)u_{x_i} + c(x,t)u Lu:=−i,j∑​ai,j(x,t)uxi​,xj​​+i∑​bi(x,t)uxi​​+c(x,t)u

1.3 研究内容

研究上述方程的解¹的存在性、唯一性、光滑性（正则性）、可离散性，而不研究他们的解析解，因为这没有意义。主要使用泛函作为工具

1.4 实例

• 极小曲面方程
• 预定高斯曲率方程
• N-S方程，不可压，无粘

二、Sobloev空间

2.1 连续可微空间

多重指标： Z n = { α = ( α 1 , ⋯   , α n ) ∈ R n : 其 中 α i 是 非 负 整 数 } Z_{n}=\left\{\alpha=\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right) \in \mathbb R^{n}: 其中\alpha_{i}是非负整数\right\} Zn​={α=(α1​,⋯,αn​)∈Rn:其中αi​是非负整数}
模： ∣ α ∣ = ∑ i = 1 n α i |\alpha|=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} ∣α∣=∑i=1n​αi​
导数： D α u = ∂ ∣ α ∣ u ∂ x α 1 ⋯ ∂ x α n D^{\alpha} u = \frac{\partial^{|\alpha|} u}{\partial x^{\alpha_{1}} \cdots \partial x^{\alpha_{n}}} Dαu=∂xα1​⋯∂xαn​∂∣α∣u​
连续函数空间： C ( Ω ˉ ) = { u : Ω ˉ → R : 连 续 有 界 } C(\bar\Omega)=\left\{u:\bar\Omega\to\mathbb R: 连续有界\right\} C(Ωˉ)={u:Ωˉ→R:连续有界}
连续函数空间的模： ∣ ∣ u ∣ ∣ C ( Ω ˉ ) = sup ⁡ Ω ∣ u ∣ ||u||_{C(\bar\Omega)}=\sup_\Omega |u| ∣∣u∣∣C(Ωˉ)​=supΩ​∣u∣
k阶连续函数空间： C k ( Ω ˉ ) = { u ∈ C ( Ω ˉ ) : ∀ α ∈ Z n , ∣ α ∣ ≤ k , D α u ∈ C ( Ω ˉ ) } , k ≥ 0 C^k(\bar\Omega)=\left\{u\in C(\bar\Omega):\forall \alpha\in Z_n, |\alpha|\le k ,D^\alpha u\in C(\bar\Omega)\right\},k\ge 0 Ck(Ωˉ)={u∈C(Ωˉ):∀α∈Zn​,∣α∣≤k,Dαu∈C(Ωˉ)},k≥0
k阶连续函数空间的模： ∣ ∣ u ∣ ∣ C k ( Ω ˉ ) = max ⁡ ∣ α ∣ ≤ k α ∈ Z n + ∣ ∣ u ∣ ∣ C ( Ω ˉ ) ||u||_{C^k(\bar\Omega)}=\max \limits_{\\|\alpha|\le k\\\alpha\in Z_n^+} ||u||_{C(\bar\Omega)} ∣∣u∣∣Ck(Ωˉ)​=∣α∣≤kα∈Zn+​max​∣∣u∣∣C(Ωˉ)​
Holder量纲： [ u ] Ω ˉ , r = sup ⁡ x ≠ y x , y ∈ Ω ∣ u ( x ) − u ( y ) ∣ ∣ x − y ∣ r , k ≥ 0 , r ∈ [ 0 , 1 ] [u]_{\bar\Omega,r}=\sup \limits_{x\neq y\\x,y\in\Omega} \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^r},k\ge 0,r\in[0,1] [u]Ωˉ,r​=x​=yx,y∈Ωsup​∣x−y∣r∣u(x)−u(y)∣​,k≥0,r∈[0,1]
Holder空间： C k , r ( Ω ˉ ) = { u ∈ C ( Ω ˉ ) : ∀ α ∈ Z n , ∣ α ∣ = k , [ D α u ] Ω ˉ , r < ∞ } , k ≥ 0 , r ∈ [ 0 , 1 ] C^{k,r}(\bar\Omega)=\left\{u\in C(\bar\Omega):\forall \alpha\in Z_n, |\alpha|= k ,[D^\alpha u]_{\bar\Omega,r}<\infty\right\},k\ge0,r\in[0,1] Ck,r(Ωˉ)={u∈C(Ωˉ):∀α∈Zn​,∣α∣=k,[Dαu]Ωˉ,r​<∞},k≥0,r∈[0,1]
Holder模： ∣ ∣ u ∣ ∣ C k , r ( Ω ˉ ) = ∣ ∣ u ∣ ∣ C k ( Ω ˉ ) + max ⁡ ∣ α ∣ = k [ D α u ] Ω ˉ , r ||u||_{C^{k,r}(\bar\Omega)}=||u||_{C^{k}(\bar\Omega)}+\max_{|\alpha|=k} [D^\alpha u]_{\bar\Omega,r} ∣∣u∣∣Ck,r(Ωˉ)​=∣∣u∣∣Ck(Ωˉ)​+max∣α∣=k​[Dαu]Ωˉ,r​
距离： d i s t ( K , ∂ Ω ) = inf ⁡ x ∈ K , y ∈ ∂ Ω d ( x , y ) dist(K,\partial\Omega)=\inf \limits_{x\in K,y\in\partial\Omega} d(x,y) dist(K,∂Ω)=x∈K,y∈∂Ωinf​d(x,y)
严格包含： K K K有界， d i s t ( K , ∂ Ω ) > 0 , K ⊂ Ω dist(K,\partial\Omega)>0,K\sub\Omega dist(K,∂Ω)>0,K⊂Ω，记作： K ⊂ ⊂ Ω K\sub\sub\Omega K⊂⊂Ω
一般集合上的空间： C k , r ( Ω ) = { u : Ω → R : ∀ K ⊂ ⊂ Ω , u ∈ C k , r ( K ˉ ) } , k ≥ 0 , r ∈ [ 0 , 1 ] ： C^{k,r}(\Omega)=\left\{u:\Omega\to\mathbb R:\forall K\sub\sub\Omega, u\in C^{k,r}(\bar K)\right\},k\ge0,r\in[0,1]： Ck,r(Ω)={u:Ω→R:∀K⊂⊂Ω,u∈Ck,r(Kˉ)},k≥0,r∈[0,1]：

C 0 , 1 ( Ω ˉ ) C^{0,1}(\bar\Omega) C0,1(Ωˉ)是Lipschitz空间， C k , 0 ( Ω ˉ ) = C k ( Ω ˉ ) C^{k,0}(\bar\Omega)=C^k(\bar\Omega) Ck,0(Ωˉ)=Ck(Ωˉ).

Theorem 2.1(Ascoli-Arzela) 设 Ω ⊂ R n \Omega\sub\mathbb R^n Ω⊂Rn有界开， M ⊂ C ( Ω ˉ ) M\sub C(\bar\Omega) M⊂C(Ωˉ)，则 M M M列紧等价于 M M M有界且等度连续

Theorem 2.2设 Ω ⊂ R n \Omega\sub\mathbb R^n Ω⊂Rn开， 0 ≤ r ≤ 1 0\le r \le1 0≤r≤1， k ≥ 0 k\ge0 k≥0，则

1. ( C k , r ( Ω ˉ ) , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ C k , r ( Ω ˉ ) ) (C^{k,r}(\bar\Omega),||\cdot||_{C^{k,r}(\bar\Omega)}) (Ck,r(Ωˉ),∣∣⋅∣∣Ck,r(Ωˉ)​)是Banach空间;
2. 若 0 ≤ r ≤ β ≤ 1 , k ≤ m 0\le r\le \beta\le1,k\le m 0≤r≤β≤1,k≤m，则有 C m , β ( Ω ˉ ) ⊂ C k , r ( Ω ˉ ) ⊂ C k ( Ω ˉ ) ⊂ C k , 0 ( Ω ˉ ) C^{m,\beta}(\bar\Omega)\sub C^{k,r}(\bar\Omega)\sub C^k(\bar\Omega)\sub C^{k,0}(\bar\Omega) Cm,β(Ωˉ)⊂Ck,r(Ωˉ)⊂Ck(Ωˉ)⊂Ck,0(Ωˉ);
3. 若 Ω \Omega Ω是凸集²，则有 C k + 1 ( Ω ˉ ) ⊂ C k , 1 ( Ω ˉ ) C^{k+1}(\bar\Omega)\sub C^{k,1}(\bar\Omega) Ck+1(Ωˉ)⊂Ck,1(Ωˉ).

2.2 L p L^p Lp空间

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1. 实际上是弱解 ↩︎

2. 凸集就是 ∀ x , y ∈ Ω , ∀ t ∈ [ 0 , 1 ] , t x + ( 1 − t ) y ∈ Ω \forall x,y\in\Omega, \forall t\in[0,1], tx+(1-t)y\in\Omega ∀x,y∈Ω,∀t∈[0,1],tx+(1−t)y∈Ω ↩︎

标签：Ck,bar,sub,笔记,alpha,partial,PDE,Omega
来源： https://blog.csdn.net/Only_AngLi/article/details/117935492