【NOIP2020】移球游戏

• 假设当前每一列的数字都属于 \([l,r]\)，把属于 \([l,mid]\) 的数字视为 \(0\)， \([mid + 1,r]\) 视为 \(1\)。

  那么把属于 \(0\) 和 \(1\) 的数字分开，保证每一列全为 \(0\) 或 \(1\)，然后递归求解子问题。

• 任意两列 \(u,v\) 至少有一种数字次数不少于 \(m\)，不妨设为 \(0\)。

  可以把 \(0\) 填满 \(u\)，剩下的放到 \(v\)，然后就不考虑 \(u\)，从前往后扫一遍。

• 具体的设 \(u,v\) 分别有 \(cu, cv\) 个 \(0\)。

  将把 \(x\) 的顶部移到 \(y\) 的顶部，移到 \(k\) 次记为 \(move(x,y,k)\)。

  \(move(v,n+1,cu)\)

  然后依次把 \(u\) 中数字为 \(0\) 的放入 \(v\)，否则放入 \(n + 1\)。

  \(move(v,u,cu)\)，\(move(n + 1,u,m - cu)\)，\(move(v,n+1,m-cu)\)，\(move(u,v,m-cu)\)。

  现在 \(u\) 只有 \(0\)，\(v\) 只有 \(1\)，只需要把 \(n + 1\) 的数字依次放入 \(u,v\) 即可。

• 一共递归 \(\log n\) 次，每一层至多操作 \(n\) 次，每次需要 \(O(m)\) 的次数。

  所以需要 \(O(nm\log n)\) 次操作。

标签：游戏,move,mid,移球,log,NOIP2020,放入,cu,数字
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